1. Se uma determinada função f(x) tem representação em série de Maclaurin dada por
sum0^infty(-1)^n 2^n+1 x^n+2
então é correto afirmar que f^(7)(0) vale
a) -64 times 7 !
b) 128 times 7 !
c) -128 times 5 !
d) 64 times 5 !
e) -128 times 7 !

Passo 1

O enunciado dá a expansão em série de Maclaurin de f como
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n2^n+1x^n+2
e pede f^(7)(0). Sabemos que, em geral, se
f(x)=summ=0^infty amx^m,
então
am=f^(m)(0)m!

Passo 2

Na série dada o expoente de x é n+2. Chamando m=n+2, obtemos n=m-2 e
am = (-1)^,m-22^,(m-2)+1 = (-1)^,m-22^,m-1,
para todo m>=2. Para m<2, am=0.

Passo 3

Queremos m=7. Logo
a7=(-1)^7-22^7-1=(-1)^52^6=-1cdot64=-64

Passo 4

Da relação a7=dfracf^(7)(0)7! vem
f^(7)(0)=7!,a7=7!times(-64)=-64times7!

Resposta

-64times7!

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