Determine e faça o esboço do domínio da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar e esboçar o domínio da função
. Esse problema está ligado ao estudo de funções de duas variáveis, especificamente olhando para onde a função está definida, ou seja, quais valores de
e
tornam a função válida. Para resolver isso, vamos analisar as condições que as partes da função impõem.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da raiz quadrada:
. Para a raiz quadrada ser válida nos números reais, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos considerar a parte do logaritmo natural:
. O logaritmo natural está definido apenas para números positivos, então o que está dentro dele deve ser maior que zero:
Passo 4
Então, para que a função
esteja definida, ambas as condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Ou seja:
Passo 5
Vamos representar essas condições graficamente para esboçar o domínio. A primeira condição,
, representa a região acima da reta
. A segunda condição,
, representa a região acima da reta
. O domínio da função será a interseção dessas duas regiões.
Resposta
O domínio da função [f(x, y) = \sqrt{y - x} \ln(x + y)) é o conjunto de todos os pares
que satisfazem:
Esse domínio pode ser esboçado no plano cartesiano como a região acima da reta .