Determine e faça o esboço do domínio da função.
f(x, y)=raizy-x ln (x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar e esboçar o domínio da função f(x, y) = raizy - x ln(x + y) . Esse problema está ligado ao estudo de funções de duas variáveis, especificamente olhando para onde a função está definida, ou seja, quais valores de x e y tornam a função válida. Para resolver isso, vamos analisar as condições que as partes da função impõem.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da raiz quadrada: raizy - x . Para a raiz quadrada ser válida nos números reais, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos:
y - x >= 0
Isso significa que:
y >= x

Passo 3

Agora, vamos considerar a parte do logaritmo natural: ln(x + y) . O logaritmo natural está definido apenas para números positivos, então o que está dentro dele deve ser maior que zero:
x + y > 0

Passo 4

Então, para que a função f(x, y) esteja definida, ambas as condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Ou seja:
  1. y >= x
  2. x + y > 0

Passo 5

Vamos representar essas condições graficamente para esboçar o domínio. A primeira condição, y >= x , representa a região acima da reta y = x . A segunda condição, x + y > 0 , representa a região acima da reta y = -x . O domínio da função será a interseção dessas duas regiões.

Resposta

O domínio da função [f(x, y) = \sqrt{y - x} \ln(x + y)) é o conjunto de todos os pares que satisfazem:
Esse domínio pode ser esboçado no plano cartesiano como a região acima da reta .

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