Calcule as seguintes integrais iteradas.
\int_{1}^{4} \int_{0}^{2}(x+\sqrt{y}) d x d y\

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{1}^{4}\int_{0}^{2}\bigl(x+\sqrt{y}\bigr)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • Integrando: \;x+\sqrt{y}\;.
  • Limites internos (variável x): \;x\in[0,2]\;.
  • Limites externos (variável y): \;y\in[1,4]\;.
    Pergunta: avaliar numericamente essa integral iterada.

Passo 2

Estratégia e regras que vou usar (passo a passo didático):
  • Em uma integral iterada \displaystyle\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y)\,dx\,dy, ao fazer a integral interna \int_{c}^{d} f(x,y)\,dx tratamos y como constante porque estamos integrando em relação a x.
  • Usarei a linearidade da integral: \int (u+v)\,dx=\int u\,dx+\int v\,dx e \int c\,u\,dx=c\int u\,dx para constante c.
  • Regra de potência: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq-1).
    Aplicando isso, primeiro faço a integral interna em x, depois a externa em y.

Passo 3

Calcular a integral interna \displaystyle\int_{0}^{2}\bigl(x+\sqrt{y}\bigr)\,dx, tratando \sqrt{y} como constante:
  • Antiderivada em relação a x:
\int\bigl(x+\sqrt{y}\bigr)\,dx=\int x\,dx+\int \sqrt{y}\,dx=\frac{x^{2}}{2}+x\sqrt{y}.
  • Avaliando de x=0 a x=2:
\left.\left(\frac{x^{2}}{2}+x\sqrt{y}\right)\right|_{0}^{2}=\frac{2^{2}}{2}+2\sqrt{y}-\bigl(0+0\bigr)=2+2\sqrt{y}.
Portanto a integral interna reduz a uma função de y:
\int_{0}^{2}\bigl(x+\sqrt{y}\bigr)\,dx=2+2\sqrt{y}.

Passo 4

Agora calcular a integral externa:
\int_{1}^{4}\bigl(2+2\sqrt{y}\bigr)\,dy.
Separe pela linearidade:
\int_{1}^{4}2\,dy+2\int_{1}^{4}y^{1/2}\,dy.

Passo 5

Avaliar cada termo:
  • Primeiro termo:
\int_{1}^{4}2\,dy=2\bigl(y\bigr)\Big|_{1}^{4}=2(4-1)=6.
  • Segundo termo: usar a regra de potência com n=\tfrac{1}{2}:
\int_{1}^{4}y^{1/2}\,dy=\left.\frac{y^{3/2}}{3/2}\right|_{1}^{4}=\frac{2}{3}\bigl(y^{3/2}\bigr)\Big|_{1}^{4}=\frac{2}{3}\bigl(4^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Multiplicando por 2 (o fator fora da integral):
2\int_{1}^{4}y^{1/2}\,dy=2\cdot\frac{2}{3}\bigl(4^{3/2}-1\bigr)=\frac{4}{3}\bigl(4^{3/2}-1\bigr).
Calcule 4^{3/2}: \;4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8. Logo o termo vale
\frac{4}{3}(8-1)=\frac{4}{3}\cdot 7=\frac{28}{3}.

Passo 6

Somando os dois termos (sem simplificar numa única fração aqui):
6+\frac{28}{3}.

Resposta

\dfrac{46}{3}

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