Limites externos (variável y): \;y\in[1,4]\;.
Pergunta: avaliar numericamente essa integral iterada.
Passo 2
Estratégia e regras que vou usar (passo a passo didático):
Em uma integral iterada \displaystyle\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y)\,dx\,dy, ao fazer a integral interna \int_{c}^{d} f(x,y)\,dx tratamos y como constante porque estamos integrando em relação a x.
Usarei a linearidade da integral: \int (u+v)\,dx=\int u\,dx+\int v\,dx e \int c\,u\,dx=c\int u\,dx para constante c.
Regra de potência: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq-1).
Aplicando isso, primeiro faço a integral interna em x, depois a externa em y.
Passo 3
Calcular a integral interna \displaystyle\int_{0}^{2}\bigl(x+\sqrt{y}\bigr)\,dx, tratando \sqrt{y} como constante: