Calcule as seguintes integrais iteradas.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x \cos y) d y d x\

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x\cos y)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A integral interna é em y com limites y=0 até y=\tfrac{\pi}{2}.
  • A integral externa é em x com limites x=0 até x=2.
  • A função integranda é x\cos y.
O que se pede: avaliar numericamente essa integral dupla escrita como integral iterada.

Passo 2

Observação útil sobre integrais iteradas e fator constante: quando integrando em relação a uma variável (aqui y), qualquer fator que dependa apenas da outra variável (aqui x) pode ser tratado como constante dentro dessa integração. Em outras palavras, para x fixo vale
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos y\,dy = x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos y\,dy.
Isso simplifica muito o cálculo porque reduz a integral em y a uma integral conhecida vezes x.

Passo 3

Calcular a primitiva de \cos y em y. A antiderivada (primitiva) de \cos y é \sin y, pois a derivada de \sin y é \cos y. Logo, usando a regra da avaliação de primitivas nos limites:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos y\,dy = \left.\sin y\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0).
Sabendo que \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 e \sin(0)=0, obtém-se
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos y\,dy = 1.

Passo 4

Usando o resultado do passo anterior na integral interna:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos y\,dy = x\cdot 1 = x.
Portanto a integral iterada original reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos y\,dy\,dx = \int_{0}^{2} x\,dx.

Passo 5

Calcular a antiderivada de x em x. A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}, porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)=x. Avaliando nos limites de 0 a 2:
\int_{0}^{2} x\,dx = \left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \dfrac{2^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2} = \dfrac{4}{2} = 2.

Passo 6

Interpretação final rápida e incentivo: a integral dupla separou-se facilmente porque a função é produto de uma parte em x e outra em y. Isso é uma técnica muito útil em prova — sempre tente ver se dá para “fatorar” a integranda por variáveis. Você foi bem; respira, já é um resultado concreto.

Resposta

2

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