A integral interna é em y com limites y=0 até y=\tfrac{\pi}{2}.
A integral externa é em x com limites x=0 até x=2.
A função integranda é x\cos y.
O que se pede: avaliar numericamente essa integral dupla escrita como integral iterada.
Passo 2
Observação útil sobre integrais iteradas e fator constante: quando integrando em relação a uma variável (aqui y), qualquer fator que dependa apenas da outra variável (aqui x) pode ser tratado como constante dentro dessa integração. Em outras palavras, para x fixo vale
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos y\,dy = x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos y\,dy.
Isso simplifica muito o cálculo porque reduz a integral em y a uma integral conhecida vezes x.
Passo 3
Calcular a primitiva de \cos y em y. A antiderivada (primitiva) de \cos y é \sin y, pois a derivada de \sin y é \cos y. Logo, usando a regra da avaliação de primitivas nos limites:
Calcular a antiderivada de x em x. A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}, porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)=x. Avaliando nos limites de 0 a 2:
Interpretação final rápida e incentivo: a integral dupla separou-se facilmente porque a função é produto de uma parte em x e outra em y. Isso é uma técnica muito útil em prova — sempre tente ver se dá para “fatorar” a integranda por variáveis. Você foi bem; respira, já é um resultado concreto.