(1 ponto) Resolva a seguinte equação diferencial
2 x y-\operatorname{sen} x+\left(x^{2}+e^{y}\right) \frac{d y}{d x}=0
M(x, y)+N(x, y) \frac{d y}{d x}=0
\begin{aligned} & g(y)=e^{y} \rightarrow e^{y} d y=c^{y} \rightarrow F(x, y)-y x^{2}+\cos x+ \\\ & F(x, y)=c \rightarrow y x^{2}+\cos x+e^{y}=c \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dá a equação diferencial
2 x y-\operatorname{sen} x+\left(x^{2}+e^{y}\right)\frac{dy}{dx}=0.
  • Reescrita na forma padrão indicada: M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0.
  • Informações extraídas do enunciado (identificar as funções M e N):
    • M(x,y)=2xy-\operatorname{sen} x.
    • N(x,y)=x^{2}+e^{y}.
  • O que é solicitado: encontrar a solução geral da equação diferencial (ou seja, resolver a EDO).

Passo 2

Reconhecer a forma da equação e a estratégia (sem ainda resolver): a equação está na forma
M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0,
o que é o mesmo que escrever em forma diferencial exata
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
Uma técnica comum para esse tipo é verificar se a equação é exata: para isso comparamos as derivadas parciais \dfrac{\partial M}{\partial y} e \dfrac{\partial N}{\partial x}. Se forem iguais em uma região, existe uma função potencial F(x,y) tal que dF=M\,dx+N\,dy e a solução implícita é F(x,y)=C.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (faça devagar para não errar):
  • Derivada parcial de M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy-\operatorname{sen} x\bigr)=2x,
pois \operatorname{sen} x é constante em relação a y.
  • Derivada parcial de N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+e^{y}\bigr)=2x,
pois e^{y} é constante em relação a x.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=2x,
a equação é exata (nesta região onde essas derivadas são contínuas). Ótimo — podemos procurar a função potencial F(x,y).

Passo 4

Explicar como encontrar a função potencial F(x,y):
  • Se dF=M\,dx+N\,dy, então por definição
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y).
  • Para obter F procede-se integrando M em relação a x (tratando y como constante), e depois ajusta-se adicionando uma função somente de y (porque a derivação em x anula termos que dependem só de y).

Passo 5

Integrar M(x,y) em relação a x:
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)=2xy-\operatorname{sen} x.
Integramos termo a termo:
\int(2xy-\operatorname{sen} x)\,dx=\int 2xy\,dx-\int \operatorname{sen} x\,dx.
  • Para \int 2xy\,dx, tratar y como constante: \int 2xy\,dx = 2y\int x\,dx = 2y\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}y.
  • Para \int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x, então com o sinal negativo em M temos -\int \operatorname{sen} x\,dx = -(-\cos x)=\cos x.
Portanto, a primitiva em relação a x é
F(x,y)=x^{2}y+\cos x+H(y),
onde H(y) é uma função arbitrária de y que aparece porque a integração em x permite esse “termo constante” em y.

Passo 6

Determinar H(y) usando a condição \dfrac{\partial F}{\partial y}=N(x,y):
  • Calcule \dfrac{\partial F}{\partial y} a partir da expressão obtida:
\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y+\cos x+H(y)\bigr)=x^{2}+H'(y).
  • Igualar essa expressão a N(x,y)=x^{2}+e^{y}:
x^{2}+H'(y)=x^{2}+e^{y}\quad\Longrightarrow\quad H'(y)=e^{y}.
  • Integrando H'(y) em relação a y:
H(y)=\int e^{y}\,dy=e^{y}+C_{0},
onde C_{0} é uma constante. (Podemos absorver C_{0} na constante final da solução implícita.)

Passo 7

Montar a função potencial F(x,y) completa (sem ainda escrever a condição final com a constante):
F(x,y)=x^{2}y+\cos x+e^{y}.
Isso significa que a diferencial exata é dF=0, e a solução geral implícita da EDO é dada por nivel sets de F.

Resposta

x^{2}y+\cos x+e^{y}=C

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