(1 ponto) Resolva a seguinte equação diferencial
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dá a equação diferencial
- Reescrita na forma padrão indicada:
. - Informações extraídas do enunciado (identificar as funções
e ): -
. -
.
-
- O que é solicitado: encontrar a solução geral da equação diferencial (ou seja, resolver a EDO).
Passo 2
Reconhecer a forma da equação e a estratégia (sem ainda resolver): a equação está na forma
o que é o mesmo que escrever em forma diferencial exata
Uma técnica comum para esse tipo é verificar se a equação é exata: para isso comparamos as derivadas parciais
e
. Se forem iguais em uma região, existe uma função potencial
tal que
e a solução implícita é
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (faça devagar para não errar):
- Derivada parcial de
em relação a :
pois
é constante em relação a
.
- Derivada parcial de
em relação a :
pois
é constante em relação a
.
Como
a equação é exata (nesta região onde essas derivadas são contínuas). Ótimo — podemos procurar a função potencial
.
Passo 4
Explicar como encontrar a função potencial
:
- Se
, então por definição
- Para obter
procede-se integrando em relação a (tratando como constante), e depois ajusta-se adicionando uma função somente de (porque a derivação em anula termos que dependem só de ).
Passo 5
Integrar
em relação a
:
Integramos termo a termo:
- Para
, tratar como constante: - Para
, então com o sinal negativo em temos
Portanto, a primitiva em relação a
é
onde
é uma função arbitrária de
que aparece porque a integração em
permite esse “termo constante” em
.
Passo 6
Determinar
usando a condição
:
- Calcule
a partir da expressão obtida:
- Igualar essa expressão a
:
- Integrando
em relação a :
onde
é uma constante. (Podemos absorver
na constante final da solução implícita.)
Passo 7
Montar a função potencial
completa (sem ainda escrever a condição final com a constante):
Isso significa que a diferencial exata é
, e a solução geral implícita da EDO é dada por nivel sets de
.