Calcule as seguintes integrais iteradas sobre o retângulo R dado:
\iint_{R}\left(y+y^{2} \cos (x)\right) d A, \quad R=[0, \pi / 2] \times[-3,3].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de
f(x,y)=y + y^{2}\cos(x)
sobre o retângulo
R = [0,\tfrac{\pi}{2}]\times[-3,3].
Aqui vamos usar o Teorema de Fubini, que diz que em retângulos podemos escrever
\iint_{R}f(x,y)\,dA =\int_{x=0}^{\pi/2}\!\int_{y=-3}^{3}\bigl(y + y^{2}\cos(x)\bigr)\,dy\,dx.

Passo 2

Separe a integral em duas partes lineares em f:
I = \iint_{R}y\,dA \quad\text{e}\quad J = \iint_{R}y^{2}\cos(x)\,dA,
ou seja
\iint_{R}\bigl(y + y^{2}\cos(x)\bigr)\,dA = I + J.

Passo 3

Calcule
I = \int_{x=0}^{\pi/2}\!\int_{y=-3}^{3}y\,dy\,dx.
Para cada x fixo,
\int_{y=-3}^{3}y\,dy =\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{-3}^{3} =\frac{9}{2}-\frac{9}{2}=0.
Logo I=0.

Passo 4

Calcule
J = \int_{x=0}^{\pi/2}\!\int_{y=-3}^{3}y^{2}\cos(x)\,dy\,dx.
Como \cos(x) não depende de y,
\int_{y=-3}^{3}y^{2}\,dy =2\int_{0}^{3}y^{2}\,dy =2\Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{3} =2\cdot 9 =18.
Então
J = \int_{0}^{\pi/2}18\cos(x)\,dx =18\bigl[\sin(x)\bigr]_{0}^{\pi/2} =18\cdot1 =18.

Passo 5

Somando as partes,
\iint_{R}\bigl(y + y^{2}\cos(x)\bigr)\,dA = I + J =0 + 18 =18.

Resposta

18

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