Calcule as seguintes integrais iteradas sobre o retângulo R dado:
\iint_{R} e^{x+3 y} d A, \quad R=[0,3] \times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função \exp(x+3y) sobre o retângulo R = [0,3]\times[0,1]. O conteúdo utilizado será o Teorema de Fubini para passar à forma de integrais iteradas e a antiderivação de exponenciais.

Passo 2

Pela Fubini, podemos escrever
\iint_{R} e^{x+3y}\,dA = \int_{x=0}^{3}\!\!\int_{y=0}^{1} e^{x+3y}\,dy\,dx.

Passo 3

Dentro da integral em y, fatoramos e^{x}:
\int_{y=0}^{1} e^{x+3y}\,dy = e^{x}\int_{0}^{1} e^{3y}\,dy = e^{x}\left[\frac{1}{3}e^{3y}\right]_{0}^{1} = e^{x}\,\frac{e^{3}-1}{3}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{3} e^{x}\,\frac{e^{3}-1}{3}\,dx =\frac{e^{3}-1}{3}\int_{0}^{3} e^{x}\,dx =\frac{e^{3}-1}{3}\bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{3} =\frac{e^{3}-1}{3}(e^{3}-1) =\frac{(e^{3}-1)^{2}}{3}.

Resposta

\iint_{R} e^{x+3y}\,dA =\frac{(e^{3}-1)^{2}}{3}.

Exercícios relacionados