Calcule as seguintes integrais iteradas sobre o retângulo R dado:
\iint_{R}\left(4 x^{3}-9 x^{2} y^{2}\right) d A, \quad R=[0,1] \times[1,2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
f(x,y)=4x^{3}-9x^{2}y^{2}
sobre o retângulo R=[0,1]\times[1,2]. Vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em uma integral iterada e resolver passo a passo.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla como iterada integrando primeiro em y:
\iint_{R}(4x^{3}-9x^{2}y^{2})\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\biggl(\int_{y=1}^{2}(4x^{3}-9x^{2}y^{2})\,dy\biggr)dx.

Passo 3

Calculamos a integral interna em y. Temos
\int 4x^{3}\,dy =4x^{3}y,
\int -9x^{2}y^{2}\,dy = -9x^{2}\,\frac{y^{3}}{3} = -3x^{2}y^{3}.
Portanto
\int_{1}^{2}(4x^{3}-9x^{2}y^{2})\,dy =\bigl[\,4x^{3}y -3x^{2}y^{3}\bigr]_{y=1}^{y=2} =4x^{3}(2-1)-3x^{2}(8-1) =4x^{3}-21x^{2}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}(4x^{3}-21x^{2})\,dx =\bigl[x^{4}-7x^{3}\bigr]_{0}^{1} =1-7 =-6.

Resposta

O valor da integral dupla é -6.

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