Calcule as seguintes integrais iteradas sobre o retângulo R dado:
\iint_{R} \operatorname{sen}(x) \cos (y) d A, \quad R=[0, \pi / 2] \times[0, \pi / 2].

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R}\sin(x)\cos(y)\,dA,
onde R=[0,\pi/2]\times[0,\pi/2].
O conteúdo é integração dupla sobre retângulo e usaremos o Teorema de Fubini para transformar essa integral numa multiplicação de duas integrais simples.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos separar a integral em
\iint_{R}\sin(x)\cos(y)\,dA =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\cos(y)\,dx\,dy =\Bigl(\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\,dx\Bigr)\cdot\Bigl(\int_{0}^{\pi/2}\cos(y)\,dy\Bigr).

Passo 3

Vamos calcular a integral em x:
\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\,dx =[-\cos(x)]_{0}^{\pi/2} =-\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+\cos(0) =0+1 =1.

Passo 4

Agora a integral em y:
\int_{0}^{\pi/2}\cos(y)\,dy =[\sin(y)]_{0}^{\pi/2} =\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\sin(0) =1-0 =1.

Passo 5

Multiplicando os resultados obtemos
1\cdot 1 = 1.

Resposta

1

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