Calcule as seguintes integrais iteradas sobre o retângulo R dado:
\iint_{R} y \operatorname{sen}(x y) d A, \quad R=[1,2] \times[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} y\,\operatorname{sen}(x y)\,dA,
onde R=[1,2]\times[0,\pi]. O conteúdo que precisamos usar é o Teorema de Fubini para trocar a integral dupla por iterada sobre um retângulo, e depois integrar passo a passo.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
\iint_{R} y\,\sin(xy)\,dA = \int_{y=0}^{\pi}\int_{x=1}^{2} y\,\sin(xy)\,dx\,dy.

Passo 3

Vamos calcular primeiro a integral interna em x:
\int_{x=1}^{2} y\,\sin(xy)\,dx.
Como y é constante em relação a x, puxa-se y para fora e integra-se \sin(xy):
\int_{1}^{2} y\,\sin(xy)\,dx = y\int_{1}^{2}\sin(xy)\,dx = y\Bigl[-\frac{1}{y}\cos(xy)\Bigr]_{x=1}^{x=2} = -\bigl[\cos(2y)-\cos(y)\bigr] = \cos(y)-\cos(2y).

Passo 4

Agora a integral externa fica
\int_{0}^{\pi}\bigl[\cos(y)-\cos(2y)\bigr]\,dy = \int_{0}^{\pi}\cos(y)\,dy \;-\;\int_{0}^{\pi}\cos(2y)\,dy.
Calculando separadamente:
\int_{0}^{\pi}\cos(y)\,dy = \bigl[\sin(y)\bigr]_{0}^{\pi} = 0-0 = 0,
\int_{0}^{\pi}\cos(2y)\,dy = \Bigl[\tfrac{1}{2}\sin(2y)\Bigr]_{0}^{\pi} = \tfrac12\bigl[\sin(2\pi)-\sin(0)\bigr] = 0.
Logo a diferença também é 0.

Resposta

A integral dupla sobre R vale 0.

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