Calcule as seguintes integrais. Justifique.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Os limites de integração são
e .
A tarefa é encontrar o valor numérico da integral e justificar os passos.
Passo 2
Método escolhido: usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da primitiva (antiderivada) para polinômios.
Lembrete (explicação didática):
- Se
então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
- Para polinômios e potências, aplica-se a regra da potência para integrais: para
,
- A integral é linear:
e para constante .
Passo 3
Encontrar uma primitiva
de
aplicando a regra termo a termo.
- Para
:
(Explicação: aqui
, então
.)
- Para
:
(Explicação: fatorou-se a constante
e aplicou-se a regra com
.)
- Para
(constante):
(Explicação: integral de constante
é
.)
Somando as primitivas dos termos, obtemos uma primitiva
:
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular
.
Calculemos termo a termo:
Somando:
Passo 5
Calcular
.
Termo a termo:
Somando:
Colocando em denominador comum
:
Passo 6
Calcular a integral como
:
Colocando em denominador comum
:
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