Calcule as seguintes integrais. Justifique.
(1,25) \int_{-1}^{2}\left(x^{3}-\frac{x}{4}+2\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-\frac{x}{4}+2\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x)=x^{3}-\dfrac{x}{4}+2.
  • Os limites de integração são a=-1 e b=2.
    A tarefa é encontrar o valor numérico da integral e justificar os passos.

Passo 2

Método escolhido: usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da primitiva (antiderivada) para polinômios.
Lembrete (explicação didática):
  • Se F'(x)=f(x) então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
  • Para polinômios e potências, aplica-se a regra da potência para integrais: para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • A integral é linear: \int (u+v)\,dx=\int u\,dx+\int v\,dx e \int c\cdot u\,dx=c\int u\,dx para constante c.

Passo 3

Encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=x^{3}-\dfrac{x}{4}+2 aplicando a regra termo a termo.
  • Para x^{3}:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.
(Explicação: aqui n=3, então \dfrac{x^{3+1}}{3+1}=\dfrac{x^{4}}{4}.)
  • Para -\dfrac{x}{4}:
\int -\frac{x}{4}\,dx = -\frac{1}{4}\int x\,dx = -\frac{1}{4}\cdot\frac{x^{2}}{2} = -\frac{x^{2}}{8}.
(Explicação: fatorou-se a constante -\tfrac{1}{4} e aplicou-se a regra com n=1.)
  • Para 2 (constante):
\int 2\,dx = 2x.
(Explicação: integral de constante c é c x.)
Somando as primitivas dos termos, obtemos uma primitiva F(x):
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{8}+2x.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular F(2).
Calculemos termo a termo:
\frac{(2)^{4}}{4}=\frac{16}{4}=4,
-\frac{(2)^{2}}{8}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2},
2\cdot 2=4.
Somando:
F(2)=4-\frac{1}{2}+4=8-\frac{1}{2}=\frac{16}{2}-\frac{1}{2}=\frac{15}{2}.

Passo 5

Calcular F(-1).
Termo a termo:
\frac{(-1)^{4}}{4}=\frac{1}{4},
-\frac{(-1)^{2}}{8}=-\frac{1}{8},
2\cdot(-1)=-2.
Somando:
F(-1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-2.
Colocando em denominador comum 8:
F(-1)=\frac{2}{8}-\frac{1}{8}-\frac{16}{8}=\frac{2-1-16}{8}=\frac{-15}{8}.

Passo 6

Calcular a integral como F(2)-F(-1):
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-\frac{x}{4}+2\right)\,dx = F(2)-F(-1)=\frac{15}{2}-\left(-\frac{15}{8}\right)=\frac{15}{2}+\frac{15}{8}.
Colocando em denominador comum 8:
\frac{15}{2}=\frac{60}{8},
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\frac{60}{8}+\frac{15}{8}=\frac{75}{8}.

Resposta

\dfrac{75}{8}

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