Questão 2 (3 pontos)
Seja a equação diferencial ordinária (EDO) não linear abaixo:
a) (1 ponto) Esta EDO é uma equação exata? Justifique.
b) (2 pontos) Resolva a equação de acordo com a resposta do item (a).
a) (1 ponto) Esta EDO é uma equação exata? Justifique.
b) (2 pontos) Resolva a equação de acordo com a resposta do item (a).
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede duas coisas:
- (a) dizer se a EDO é exata, com justificativa;
- (b) resolver a equação conforme a resposta do item (a).
Informações dadas e observações imediatas (peguei tudo do enunciado):
- A variável independente é
e a dependente é . - Aparece um parâmetro/constante
(assumir que é constante). - Posso escrever a EDO em forma diferencial
para testar exatidão. - O que será pedido: testar exatidão, possivelmente procurar fator integrante e, caso seja possível, obter a solução implícita/ explícita.
Passo 2
Colocar a EDO na forma padrão
.
A EDO dada é
Multiplicando ambos os lados por
e passando tudo para um lado:
Portanto definimos
Passo 3
Relembrando o teste de exatidão (aula rapidinha): uma equação diferencial na forma
é exata em uma região se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática necessária (e suficiente localmente, com hipóteses de regularidade) é
Vou calcular essas derivadas parciais para nossa
e
.
Calcule:
Como
não é igual a
em geral (os dois lados dependem de
e
de formas diferentes), concluímos que a equação NÃO é exata de forma geral.
Passo 4
Quando a equação não é exata, uma técnica padrão é procurar um fator integrante [\mu) (função de
só, de
só, ou de uma combinação) tal que
seja exata.
Uma busca simples e muito usada é testar um fator integrante do tipo potencial
(potências de
e
). Vou testar essa forma e ver se existe
que tornam a equação exata; isso também pode revelar condições sobre
.
Multiplicando por
definimos
A condição de exatidão pede
. Vou calcular ambas:
Primeiro,
Reorganizando:
Segundo,
Igualando os dois (e cancelando factor
, assumindo
,
para essa manipulação):
Para que isso valha para todo
e
na região, os coeficientes de
e de
e o termo independente devem coincidir. Isso dá o sistema:
):} & (b+1)3 r = 0. \end{cases}]
Com
a segunda equação dá
. A terceira equação fica
, ou seja exige
.
Conclusão desse passo: um fator integrante do tipo
existe apenas se
, e nesse caso
,
, ou seja
Portanto:
- Em geral (para
) a equação não é exata e não existe fator integrante do tipo . Resolver para exigiria procurar um fator integrante mais complicado ou outro método. - No caso especial
é possível tornar a equação exata com . Vou resolver esse caso explicitamente.]
Passo 5
Resolver a EDO no caso especial
.
Para
a EDO original fica
Na forma diferencial:
Multiplicando por
obtemos as funções:
Vou verificar exatidão rapidamente:
As duas derivadas coincidem, logo a equação multiplicada por
é exata.
Passo 6
Encontrar a função potencial
tal que
Integrar
em relação a
(trata
como constante):
onde
é função arbitrária de
.
Agora imponho
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Isso deve ser igual a
. Igualando:
Os termos
cancelam e sobra
Integrando em
:
Logo a função potencial é
A condição implícita que determina as curvas soluções é
. Podemos agrupar a constante arbitrária numa só
. Assim a solução geral implícita (para
) é
onde
é constante de integração.
Podemos também reescrever, se desejar, multiplicando por
:
com
. Ambas as formas equivalem.
Resposta
(a) Não é exata em geral:
e
, que não são iguais. Um fator integrante do tipo
existe somente se
, com
e
.
(b) Para
(caso em que existe o fator integrante acima) a solução implícita geral é
onde
é constante de integração. Para
a equação não é exata e não admite fator integrante da forma
; a solução exige um fator integrante mais geral ou outro método.