Questão 2 (3 pontos)

Seja a equação diferencial ordinária (EDO) não linear abaixo:
\left(t^{2}+t y\right) d y / d t=-3 r y-y^{2}
a) (1 ponto) Esta EDO é uma equação exata? Justifique.
b) (2 pontos) Resolva a equação de acordo com a resposta do item (a).

Passo 1

O enunciado dá a EDO
\left(t^{2}+t y\right)\frac{d y}{d t}=-3 r y-y^{2}
e pede duas coisas:
  • (a) dizer se a EDO é exata, com justificativa;
  • (b) resolver a equação conforme a resposta do item (a).
Informações dadas e observações imediatas (peguei tudo do enunciado):
  • A variável independente é t e a dependente é y(t).
  • Aparece um parâmetro/constante r (assumir que r é constante).
  • Posso escrever a EDO em forma diferencial M(t,y)\,dt + N(t,y)\,dy=0 para testar exatidão.
  • O que será pedido: testar exatidão, possivelmente procurar fator integrante e, caso seja possível, obter a solução implícita/ explícita.

Passo 2

Colocar a EDO na forma padrão M(t,y)\,dt + N(t,y)\,dy=0.
A EDO dada é
\left(t^{2}+t y\right)\frac{d y}{d t}=-3 r y-y^{2}.
Multiplicando ambos os lados por dt e passando tudo para um lado:
(3 r y + y^{2})\,dt + (t^{2}+t y)\,dy = 0.
Portanto definimos
M(t,y)=3 r y + y^{2},\qquad N(t,y)=t^{2}+t y.

Passo 3

Relembrando o teste de exatidão (aula rapidinha): uma equação diferencial na forma M(t,y)\,dt + N(t,y)\,dy=0 é exata em uma região se existe uma função potencial \Phi(t,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=M,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Uma condição prática necessária (e suficiente localmente, com hipóteses de regularidade) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Vou calcular essas derivadas parciais para nossa M e N.
Calcule:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3 r y + y^{2}\big)=3 r + 2y,
\frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\big(t^{2}+t y\big)=2t + y.
Como 3 r + 2y não é igual a 2t + y em geral (os dois lados dependem de t e y de formas diferentes), concluímos que a equação NÃO é exata de forma geral.

Passo 4

Quando a equação não é exata, uma técnica padrão é procurar um fator integrante [\mu) (função de t só, de y só, ou de uma combinação) tal que \mu M\,dt + \mu N\,dy seja exata.
Uma busca simples e muito usada é testar um fator integrante do tipo potencial \mu(t,y)=t^{a}y^{b} (potências de t e y). Vou testar essa forma e ver se existe a,b que tornam a equação exata; isso também pode revelar condições sobre r.
Multiplicando por \mu=t^{a}y^{b} definimos
\tilde M(t,y)=\mu M = t^{a}y^{b}(3 r y + y^{2})=t^{a}y^{b+1}(3 r + y),
\tilde N(t,y)=\mu N = t^{a}y^{b}(t^{2}+t y)=t^{a+1}y^{b}(t+y).
A condição de exatidão pede \partial \tilde M/\partial y=\partial \tilde N/\partial t. Vou calcular ambas:
Primeiro,
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} = t^{a}\frac{d}{dy}\big(y^{b+1}(3 r + y)\big) = t^{a}\big((b+1)y^{b}(3 r + y) + y^{b+1}\big).
Reorganizando:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} = t^{a}y^{b}\big((b+1)3 r + (b+2)y\big).
Segundo,
\frac{\partial \tilde N}{\partial t} = y^{b}\frac{d}{dt}\big(t^{a+1}(t+y)\big) = y^{b} t^{a}\big((a+2)t + (a+1)y\big).
Igualando os dois (e cancelando factor t^{a}y^{b}, assumindo t\neq0, y\neq0 para essa manipulação):
(b+1)3 r + (b+2)y = (a+2)t + (a+1)y.
Para que isso valha para todo t e y na região, os coeficientes de t e de y e o termo independente devem coincidir. Isso dá o sistema:
\begin{cases} \text{coeficiente de }t: & 0 = a+2 \Rightarrow a=-2,\\[4pt] \text{coeficiente de }y: & b+2 = a+1,\\[4pt] \text{termo constante (em \(t,y):} & (b+1)3 r = 0. \end{cases}]
Com a=-2 a segunda equação dá b+2 = -1\Rightarrow b=-3. A terceira equação fica (b+1)3 r = (-3+1)3 r = -6 r = 0, ou seja exige r=0.
Conclusão desse passo: um fator integrante do tipo t^{a}y^{b} existe apenas se r=0, e nesse caso a=-2, b=-3, ou seja
\mu(t,y)=t^{-2}y^{-3}\quad\text{(somente quando \(r=0\)).}
Portanto:
  • Em geral (para r\neq0) a equação não é exata e não existe fator integrante do tipo t^{a}y^{b}. Resolver para r\neq0 exigiria procurar um fator integrante mais complicado ou outro método.
  • No caso especial r=0 é possível tornar a equação exata com \mu=t^{-2}y^{-3}. Vou resolver esse caso explicitamente.]

Passo 5

Resolver a EDO no caso especial r=0.
Para r=0 a EDO original fica
\big(t^{2}+t y\big)\frac{dy}{dt}=-y^{2}.
Na forma diferencial:
M(t,y)=y^{2},\qquad N(t,y)=t^{2}+t y.
Multiplicando por \mu(t,y)=t^{-2}y^{-3} obtemos as funções:
\tilde M(t,y)=\mu M = t^{-2}y^{-1},\qquad \tilde N(t,y)=\mu N = y^{-3} + t^{-1}y^{-2}.
Vou verificar exatidão rapidamente:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(t^{-2}y^{-1}\big)=-t^{-2}y^{-2},
\frac{\partial \tilde N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\big(y^{-3}+t^{-1}y^{-2}\big)=-t^{-2}y^{-2}.
As duas derivadas coincidem, logo a equação multiplicada por \mu é exata.

Passo 6

Encontrar a função potencial \Phi(t,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=\tilde M(t,y)=t^{-2}y^{-1},\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\tilde N(t,y)=y^{-3}+t^{-1}y^{-2}.
Integrar \partial \Phi/\partial t em relação a t (trata y como constante):
\Phi(t,y)=\int t^{-2}y^{-1}\,dt = y^{-1}\int t^{-2}\,dt = y^{-1}\big(-t^{-1}\big)+h(y) = -\frac{1}{t y} + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.
Agora imponho \partial \Phi/\partial y = \tilde N. Calculo \partial \Phi/\partial y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Big(-\frac{1}{t y}+h(y)\Big) = \frac{1}{t y^{2}} + h'(y).
Isso deve ser igual a \tilde N(t,y)=y^{-3}+t^{-1}y^{-2}. Igualando:
\frac{1}{t y^{2}} + h'(y)=\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{t y^{2}}.
Os termos 1/(t y^{2}) cancelam e sobra
h'(y)=\frac{1}{y^{3}}.
Integrando em y:
h(y)=\int y^{-3}\,dy = -\frac{1}{2y^{2}} + C_{1}.
Logo a função potencial é
\Phi(t,y) = -\frac{1}{t y} - \frac{1}{2y^{2}} + C_{1}.
A condição implícita que determina as curvas soluções é \Phi(t,y)=\text{const}. Podemos agrupar a constante arbitrária numa só C. Assim a solução geral implícita (para r=0) é
-\frac{1}{t y} - \frac{1}{2y^{2}} = C,
onde C é constante de integração.
Podemos também reescrever, se desejar, multiplicando por -1:
\frac{1}{t y} + \frac{1}{2y^{2}} = C',
com C'=-C. Ambas as formas equivalem.

Resposta

(a) Não é exata em geral: \dfrac{\partial M}{\partial y}=3r+2y e \dfrac{\partial N}{\partial t}=2t+y, que não são iguais. Um fator integrante do tipo \mu(t,y)=t^{a}y^{b} existe somente se r=0, com a=-2 e b=-3.
(b) Para r=0 (caso em que existe o fator integrante acima) a solução implícita geral é
-\dfrac{1}{t y}-\dfrac{1}{2y^{2}}=C,
onde C é constante de integração. Para r\neq0 a equação não é exata e não admite fator integrante da forma t^{a}y^{b}; a solução exige um fator integrante mais geral ou outro método.

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