Questão 3 (3 pontos)
Resolva a seguinte equação diferencial ordinária:
Utilize o método da equação de Euler-Cauchy.
Utilize o método da equação de Euler-Cauchy.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
O que se deve obter é a solução geral
que satisfaça essa equação para todo
. As informações relevantes fornecidas são:
- A equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes que são potências de
. - O domínio
, que permite usar e garante que para todo .
Passo 2
Ideia do método (introdução didática): para equações do tipo Euler–Cauchy (onde os coeficientes são potências de
), é natural tentar soluções da forma
onde
é um número (que pode ser real ou complexo). Por que essa escolha? Porque derivando potências de
obtemos escalações em
que preservam a forma das potências, o que transforma a EDO numa equação algébrica para
. Vamos calcular as derivadas necessárias de
(aqui usamos que
para que
e
estejam bem definidos quando necessário):
Explicando: ao derivar
tratamos
como constante e aplicamos a regra das potências, obtendo fatores
e
nas sucessivas derivadas.
Passo 3
Substituímos
,
e
na equação diferencial. Substituindo as expressões do passo anterior:
Agora simplificamos fatorando
(ou observando as potências de
):
Como
para
, podemos dividir ambos os lados por
e obter apenas uma equação algébrica em
:
Dividindo por
para simplificar:
Desenvolvendo:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática característica
Calculamos o discriminante
:
O discriminante é negativo, então as raízes são complexas conjugadas. Calculamos as raízes:
Aqui escrevemos
para a unidade imaginária. Portanto as raízes têm a forma
com
e
.
Passo 5
Interpretação e construção da solução real: quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
, as soluções complexas
podem ser escritas usando exponenciais e funções trigonométricas, e a combinação linear real das partes real e imaginária fornece a solução geral real. Explicando passo a passo:
- Escrevemos
. - Para
temos
- As partes real e imaginária são então
e , que são soluções reais independentes.
Portanto, parae , a solução geral real da EDO é
onde
e
são constantes reais arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).
Passo 6
Verificação rápida (sanidade): podemos checar informalmente que essa forma é razoável porque ao substituir
as diferenciações introduzem termos em
e em trigonometria com argumento
, que combinam para satisfazer a equação graças à escolha de
. O domínio
garante que
esteja bem definido e evita singularidades em
.