Questão 3 (3 pontos)

Resolva a seguinte equação diferencial ordinária:
2 t^{2} y^{\prime \prime}-6 t y^{\prime}+12 y=0, t>0
Utilize o método da equação de Euler-Cauchy.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
2 t^{2} y^{\prime\prime}-6 t y^{\prime}+12 y=0,\quad t>0.
O que se deve obter é a solução geral y(t) que satisfaça essa equação para todo t>0. As informações relevantes fornecidas são:
  • A equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes que são potências de t.
  • O domínio t>0, que permite usar \ln t e garante que t^{r}\neq0 para todo r.

Passo 2

Ideia do método (introdução didática): para equações do tipo Euler–Cauchy (onde os coeficientes são potências de t), é natural tentar soluções da forma
y(t)=t^{r},
onde r é um número (que pode ser real ou complexo). Por que essa escolha? Porque derivando potências de t obtemos escalações em t que preservam a forma das potências, o que transforma a EDO numa equação algébrica para r. Vamos calcular as derivadas necessárias de y(t)=t^{r} (aqui usamos que t>0 para que t^{r} e \ln t estejam bem definidos quando necessário):
y(t)=t^{r},
y^{\prime}(t)=r t^{r-1},
y^{\prime\prime}(t)=r(r-1) t^{r-2}.
Explicando: ao derivar t^{r} tratamos r como constante e aplicamos a regra das potências, obtendo fatores r e r-1 nas sucessivas derivadas.

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na equação diferencial. Substituindo as expressões do passo anterior:
2 t^{2}\big(r(r-1) t^{r-2}\big) -6 t \big(r t^{r-1}\big) +12 \big(t^{r}\big)=0.
Agora simplificamos fatorando t^{r} (ou observando as potências de t):
2 r(r-1) t^{r} -6 r t^{r} +12 t^{r}=0.
Como t^{r}\neq0 para t>0, podemos dividir ambos os lados por t^{r} e obter apenas uma equação algébrica em r:
2 r(r-1)-6 r+12=0.
Dividindo por 2 para simplificar:
r(r-1)-3 r+6=0.
Desenvolvendo:
r^{2}-4r+6=0.

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática característica
r^{2}-4r+6=0.
Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot6=16-24=-8.
O discriminante é negativo, então as raízes são complexas conjugadas. Calculamos as raízes:
r=\frac{4\pm\sqrt{-8}}{2}=\frac{4\pm 2\mathrm{i}\sqrt{2}}{2}=2\pm \mathrm{i}\sqrt{2}.
Aqui escrevemos \mathrm{i} para a unidade imaginária. Portanto as raízes têm a forma \alpha\pm \mathrm{i}\beta com \alpha=2 e \beta=\sqrt{2}.

Passo 5

Interpretação e construção da solução real: quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm \mathrm{i}\beta, as soluções complexas t^{r} podem ser escritas usando exponenciais e funções trigonométricas, e a combinação linear real das partes real e imaginária fornece a solução geral real. Explicando passo a passo:
  • Escrevemos t^{r}=e^{r\ln t}.
  • Para r=\alpha+\mathrm{i}\beta temos
t^{r}=e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)\ln t}=e^{\alpha\ln t}\,e^{\mathrm{i}\beta\ln t}=t^{\alpha}\big(\cos(\beta\ln t)+\mathrm{i}\sin(\beta\ln t)\big).
  • As partes real e imaginária são então t^{\alpha}\cos(\beta\ln t) e t^{\alpha}\sin(\beta\ln t), que são soluções reais independentes.
    Portanto, para \alpha=2 e \beta=\sqrt{2}, a solução geral real da EDO é
y(t)=t^{2}\Big(C_{1}\cos\big(\sqrt{2}\,\ln t\big)+C_{2}\sin\big(\sqrt{2}\,\ln t\big)\Big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).

Passo 6

Verificação rápida (sanidade): podemos checar informalmente que essa forma é razoável porque ao substituir y(t)=t^{2}(\cdots) as diferenciações introduzem termos em \ln t e em trigonometria com argumento \sqrt{2}\ln t, que combinam para satisfazer a equação graças à escolha de r. O domínio t>0 garante que \ln t esteja bem definido e evita singularidades em t^{r}.

Resposta

y(t)=t^{2}\Big(C_{1}\cos\big(\sqrt{2}\,\ln t\big)+C_{2}\sin\big(\sqrt{2}\,\ln t\big)\Big),\quad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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