Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C, orientadas positivamente.
d) ointC x^-1 e^y d x+(e^y ln x+2 x) d y; C é a fronteira da região limitada por x=y^4+1 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC x^-1e^y,dx + l(e^yln x + 2xr),dy ao longo de C, que é a fronteira orientada positivamente da região R limitada por x = y^4 + 1 e x=2. Como P(x,y)=x^-1e^y e Q(x,y)=e^yln x +2x têm derivadas contínuas em R, podemos usar o teorema de Green para transformá-la num duplo integral sobre R.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais necessárias no teorema de Green: partial Qpartial x=e^y1x+2 e partial Ppartial y=e^y1x. Logo, partial Qpartial x-partial Ppartial y=2, que é constante.

Passo 3

A região R é descrita por y variando de -1 a 1 (pois y^4<=1) e, para cada y, x vai de x=y^4+1 até x=2. Pelo teorema de Green temos: ointC P,dx+Q,dy=integral duplaR(partial Q/partial x-partial P/partial y),dA=integral duplaR2,dA

Passo 4

Fazendo o duplo integral de 2 sobre R: 2integral duplaR1,dA=2integraly=-1^1l(2-(y^4+1)r),dy=2integral-1^1(1-y^4),dy Calculamos:
$$\int_{-1}{1}(1-y4),dy=\Bigl[y-\tfrac{y5}{5}\Bigr]_{-1}{1}=(1-\tfrac15)-(-1+\tfrac{1}{5})=2-\tfrac{2}{5}=\tfrac{8}{5}.
$$ Multiplicando por 2 obtemos integral-1^1(1-y^4),dy=l[y-tfracy^55r]-1^1=(1-tfrac15)-(-1+tfrac15)=2-tfrac25=tfrac85 .

Resposta

tfrac165

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