Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas
, orientadas positivamente.
;
é a fronteira da região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo de
, que é a fronteira orientada positivamente da região
limitada por
e
. Como
e
têm derivadas contínuas em
, podemos usar o teorema de Green para transformá-la num duplo integral sobre
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais necessárias no teorema de Green:
e
. Logo,
, que é constante.
Passo 3
A região
é descrita por
variando de
a
(pois
) e, para cada
,
vai de
até
. Pelo teorema de Green temos:
Passo 4
Fazendo o duplo integral de 2 sobre
:
Calculamos:
$$\int_{-1}{1}(1-y4),dy=\Bigl[y-\tfrac{y5}{5}\Bigr]_{-1}{1}=(1-\tfrac15)-(-1+\tfrac{1}{5})=2-\tfrac{2}{5}=\tfrac{8}{5}.
$$ Multiplicando por 2 obtemos
.