Seja C a curva definida pelas equações paramétricas lx(t)=t^2-2 y(t)=5-2 t,-3 <= t <= 4 Pede-se: z(t)=-1
Faça um esboço de C, indicando a orientação.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva C definida por equações paramétricas:
x(t) = t^2 - 2 y(t) = 5 - 2t z(t) = -1
para -3 <= t <= 4. Nosso objetivo é fazer um esboço dessa curva e indicar a orientação dela. Vamos precisar entender como as variáveis t, x, y e z se relacionam para desenhar a curva no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que z(t) = -1 é constante. Isso significa que nossa curva está totalmente no plano horizontal onde z = -1. Então, na verdade, podemos focar no gráfico das funções x(t) e y(t) no plano xy.

Passo 3

Vamos analisar as funções de x(t) e y(t):
x(t) = t^2 - 2
y(t) = 5 - 2t
Para entender melhor, vamos calcular alguns pontos para diferentes valores de t dentro do intervalo -3 <= t <= 4.

Passo 4

Vamos montar uma tabela com alguns valores de t, x(t) e y(t):
|c|c|c| hline t & x(t) = t^2 - 2 & y(t) = 5 - 2t hline -3 & (-3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7 & 5 - 2(-3) = 5 + 6 = 11 -2 & (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2 & 5 - 2(-2) = 5 + 4 = 9 -1 & (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 & 5 - 2(-1) = 5 + 2 = 7 0 & 0^2 - 2 = -2 & 5 - 0 = 5 1 & 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1 & 5 - 2 = 3 2 & 4 - 2 = 2 & 5 - 4 = 1 3 & 9 - 2 = 7 & 5 - 6 = -1 4 & 16 - 2 = 14 & 5 - 8 = -3 hline

Passo 5

Com esses pontos, podemos começar a desenhar a curva no plano xy. Vamos plotar cada par (x, y):
  • Para t = -3: (7, 11)
  • Para t = -2: (2, 9)
  • Para t = -1: (-1, 7)
  • Para t = 0: (-2, 5)
  • Para t = 1: (-1, 3)
  • Para t = 2: (2, 1)
  • Para t = 3: (7, -1)
  • Para t = 4: (14, -3)
Conectando esses pontos, percebemos que a curva forma uma parábola devido ao termo t^2 em x(t). A abertura da parábola é para cima no eixo x.

Passo 6

Agora, vamos indicar a orientação da curva. O parâmetro t varia de -3 até 4, ou seja, começamos no ponto correspondente a t = -3 e seguimos até t = 4. Assim, a orientação vai do ponto (7, 11), descendo até (-2, 5) quando t = 0, e continuando até (14, -3).

Passo 7

Finalmente, como a curva está no plano z = -1, adicionamos essa coordenada a todos os pontos. Nosso esboço será uma parábola no plano xy fixada em z = -1, com setas indicando a direção do movimento conforme t aumenta de -3 a 4.

Resposta

O esboço da curva C é uma parábola no plano z = -1, iniciando no ponto (7, 11, -1) e seguindo em direção a (14, -3, -1). A orientação da curva vai do ponto superior esquerdo para o inferior direito conforme o parâmetro t aumenta de -3 a 4.

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