Calcule as seguintes integrais por meio de alguma mudanca de variáveis:
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}} d x d y, ande R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4,-x \leqslant y \leqslant x, x \geqslant 0\right\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy
onde R é a região do plano definida por
1 \le x^{2}+y^{2} \le 4,\quad -x \le y \le x,\quad x\ge0.
O conteúdo que vamos usar é a mudança para coordenadas polares, pois a integranda e a descrição de R ficam muito mais simples nesse sistema.

Passo 2

Fazendo a mudança
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
temos x^{2}+y^{2}=r^{2} e o elemento de área
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
A integral vira
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy =\iint_{R_{\rm pol}} e^{r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Vamos traduzir as condições de R para polares:
  • 1 \le r^{2}\le4 1\le r\le2.
  • -x\le y\le x equivale a -r\cos\theta\le r\sin\theta\le r\cos\theta. Como r>0, isso é
-\cos\theta\le\sin\theta\le\cos\theta \quad\Longleftrightarrow\quad -\tan\theta\le1\;\text{e}\;\tan\theta\le1
o que implica -\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}.
  • x\ge0 vira \cos\theta\ge0, ou seja \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], e isso engloba o intervalo acima sem alterar nada.
Portanto
R_{\rm pol}:\quad 1\le r\le2,\quad -\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}.

Passo 4

A integral iterada é
\int_{\theta=-\pi/4}^{\pi/4} \int_{r=1}^{2} e^{r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.
Fazendo u=r^{2}, du=2r\,dr ou r\,dr=\tfrac12\,du, temos
\int_{r=1}^{2} e^{r^{2}}\,r\,dr =\frac12\int_{u=1}^{4} e^{u}\,du =\frac12\bigl(e^{4}-e^{1}\bigr).

Passo 5

Como o resultado radial não depende de \theta, a integral em \theta só multiplica pela largura do ângulo, que é \pi/4-(-\pi/4)=\pi/2. Logo
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy =\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\!d\theta\;\times\frac12\bigl(e^{4}-e\bigr) =\frac{\pi}{2}\cdot\frac12\bigl(e^{4}-e\bigr) =\frac{\pi}{4}\bigl(e^{4}-e\bigr).

Resposta

\boxed{\frac{\pi}{4}\,\bigl(e^{4}-e\bigr)}.

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