Calcule as seguintes integrais por meio de alguma mudanca de variáveis:
, ande
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região do plano definida por
O conteúdo que vamos usar é a mudança para coordenadas polares, pois a integranda e a descrição de
ficam muito mais simples nesse sistema.
Passo 2
Fazendo a mudança
temos
e o elemento de área
A integral vira
Passo 3
Vamos traduzir as condições de
para polares:
-
dá . -
equivale a . Como , isso é
o que implica
.
-
vira , ou seja , e isso engloba o intervalo acima sem alterar nada.
Portanto
Passo 4
A integral iterada é
Fazendo
,
ou
, temos
Passo 5
Como o resultado radial não depende de
, a integral em
só multiplica pela largura do ângulo, que é
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