Use a regra da cadeia para derivar as seguintes:
f(x)=e^{x \cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=e^{x\cos(x)}
usando a regra da cadeia. Vamos precisar também da regra do produto para diferenciar o expoente g(x)=x\cos(x).

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{g(x)}\bigr) =e^{g(x)}\cdot g'(x).

Passo 3

Agora calculamos g'(x) com a regra do produto em g(x)=x\cos(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\cos(x)\bigr) =\underbrace{\frac{d}{dx}(x)}_{=1}\cos(x) + x\underbrace{\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr)}_{=-\sin(x)} =\cos(x)-x\sin(x).

Passo 4

Substituindo g'(x) em f'(x) obtemos
f'(x) =e^{x\cos(x)}\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{x\cos(x)}\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr).

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