Use a regra da cadeia para derivar as seguintes:
f(x)=\cos \left(\frac{1-e^{2 x}}{1+e^{2 x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\!\Bigl(\frac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}\Bigr)
usando a regra da cadeia e, internamente, a regra do quociente para derivar a função
u(x)=\frac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}.

Passo 2

Defina
u(x)=\frac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}, \quad f(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia temos
f'(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Calcule u'(x) pela regra do quociente. Seja
n(x)=1-e^{2x},\quad d(x)=1+e^{2x},
então
n'(x)=-2e^{2x},\quad d'(x)=2e^{2x},
e
u'(x) =\frac{n'(x)\,d(x)-n(x)\,d'(x)}{\bigl(d(x)\bigr)^2} =\frac{(-2e^{2x})(1+e^{2x})-(1-e^{2x})(2e^{2x})}{(1+e^{2x})^2}.

Passo 4

Simplificando o numerador:
(-2e^{2x})(1+e^{2x}) = -2e^{2x}-2e^{4x}, \quad (1-e^{2x})(2e^{2x})=2e^{2x}-2e^{4x},
(-2e^{2x}-2e^{4x})-(2e^{2x}-2e^{4x})=-4e^{2x}.
Logo
u'(x)=\frac{-4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}.

Passo 5

Substituindo em f'(x):
f'(x) =-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot\frac{-4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2} =\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}\,\sin\!\bigl(u(x)\bigr).
Voltando a u(x):
f'(x) =\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}\, \sin\!\Bigl(\frac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}\Bigr).

Resposta

f'(x) =\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}\, \sin\!\Bigl(\frac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}\Bigr).

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