Calcule as seguintes integrais por meio de alguma mudanca de variáveis:
\iint_{\mathbb{R}}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y, ande R é o círculo x^{2}+y^{2} \leqslant 4;

Passo 1

Resumindo o enunciado, devemos calcular a integral
I = \iint_{R}(x^{2}+2y)\,dx\,dy
onde R é o disco definido por x^{2}+y^{2}\le 4. Vamos usar mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Na mudança de variáveis definimos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
A região R passa a ser 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 3

Substituindo na integral,
I = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\bigl(r^{2}\cos^{2}\theta + 2r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\bigl(r^{3}\cos^{2}\theta + 2r^{2}\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em \theta. Usando
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi, \quad \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0,
vemos que o termo com \sin\theta anula, restando
I = \pi \int_{0}^{2}r^{3}\,dr.

Passo 5

Agora integramos em r:
\int_{0}^{2}r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{16}{4} = 4,
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I = \pi \cdot 4 = 4\pi.

Resposta

4\pi

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