Calcule as seguintes integrais por meio de alguma mudanca de variáveis:
\iint_{\mathbb{R}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, ande \mathbb{R}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{\mathbb{R}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy,
onde \mathbb{R}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\le x^2+y^2\le4\}.
O conteúdo é mudança de variáveis para coordenadas polares, já que a região é um anel circular e a integranda depende de x^2+y^2.

Passo 2

Fazemos a troca para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com jacobiano dx\,dy = r\,dr\,d\theta. A região em polares fica
1 \le r^2 \le 4 \quad\Longrightarrow\quad 1 \le r \le 2,
e \theta varia de 0 a 2\pi.

Passo 3

Em polares, x^2+y^2 = r^2. Logo a integral vira
\iint_{\mathbb{R}}(x^2+y^2)\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{2} \bigl(r^2\bigr)\,(r\,dr\,d\theta) = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2} r^3\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro calculamos a integral em r:
\int_{1}^{2} r^3\,dr = \left[\frac{r^4}{4}\right]_{1}^{2} = \frac{2^4}{4}-\frac{1^4}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{15}{4}\,d\theta = \frac{15}{4}\,\bigl[\,\theta\,\bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{15}{4}\,(2\pi) = \frac{15\pi}{2}.

Resposta

\iint_{\mathbb{R}}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy \;=\;\frac{15\pi}{2}.

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