Calcule as seguintes integrais pelo método do completamento de quadrado ou do algoritmo da divisão (grau do numerador maior do que o grau do denominador).
\int \frac{1}{\sqrt{5-4 x-2 x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{\sqrt{5 - 4x - 2x^{2}}}\,dx
usando completamento de quadrado e a fórmula básica
\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} = \arcsin\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr) + C.

Passo 2

Fazendo o completamento de quadrado em 5 - 4x - 2x^{2}:
5 - 4x - 2x^{2} = -2\bigl(x^{2} + 2x - 2.5\bigr) = -2\bigl((x+1)^{2} - 3.5\bigr) = 7 - 2(x+1)^{2}.

Passo 3

Use a substituição
u = x + 1, \quad du = dx,
ficando a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{5 - 4x - 2x^{2}}} = \int \frac{du}{\sqrt{7 - 2u^{2}}}.

Passo 4

Escreva 7 - 2u^{2} = 7\bigl[1 - (\tfrac{\sqrt{2}\,u}{\sqrt{7}})^{2}\bigr]. Então
\int \frac{du}{\sqrt{7 - 2u^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{7}}\int \frac{du}{\sqrt{1 - (\tfrac{\sqrt{2}\,u}{\sqrt{7}})^{2}}}.
Fazendo t = \tfrac{\sqrt{2}\,u}{\sqrt{7}}, temos du = \tfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\,dt, e
\frac{1}{\sqrt{7}}\int \frac{du}{\sqrt{1 - t^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{7}}\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin(t) + C.

Passo 5

Retornando t = \tfrac{\sqrt{2}\,(x+1)}{\sqrt{7}}, obtemos
\int \frac{1}{\sqrt{5 - 4x - 2x^{2}}}\,dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin\!\Bigl(\frac{\sqrt{2}\,(x+1)}{\sqrt{7}}\Bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin\!\Bigl(\frac{\sqrt{2}\,(x+1)}{\sqrt{7}}\Bigr)+C

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