Calcule as seguintes integrais pelo método do completamento de quadrado ou do algoritmo da divisão (grau do numerador maior do que o grau do denominador).
\int \frac{d x}{3 x^{2}-2 x+5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{3x^{2}-2x+5}
usando o método do completamento de quadrado. Vamos então escrever o denominador em forma quadrática e aplicar a fórmula
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{a}\Bigr)+C.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador. Fatoramos 3:
3x^{2}-2x+5 = 3\Bigl(x^{2}-\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}\Bigr).
Agora, dentro do parêntese, escrevemos
x^{2}-\frac{2}{3}x + \frac{5}{3} = \Bigl(x-\frac{1}{3}\Bigr)^{2} + \frac{5}{3} - \frac{1}{9} = \Bigl(x-\frac{1}{3}\Bigr)^{2} + \frac{14}{9}.
Portanto
3x^{2}-2x+5 = 3\Bigl[\bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} + \tfrac{14}{9}\Bigr].

Passo 3

Reescrevendo a integral com esse resultado:
\int \frac{dx}{3x^{2}-2x+5} = \int \frac{dx}{3\bigl[(x-\tfrac{1}{3})^{2} + \tfrac{14}{9}\bigr]} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{(x-\tfrac{1}{3})^{2} + (\tfrac{\sqrt{14}}{3})^{2}}.

Passo 4

Fazemos a mudança de variável
u = x - \tfrac{1}{3},
logo du = dx. A integral fica
\frac{1}{3}\int \frac{du}{u^{2} + \bigl(\tfrac{\sqrt{14}}{3}\bigr)^{2}} = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\tfrac{\sqrt{14}}{3}} \arctan\!\Bigl(\frac{u}{\tfrac{\sqrt{14}}{3}}\Bigr) + C = \frac{1}{\sqrt{14}}\arctan\!\Bigl(\frac{3u}{\sqrt{14}}\Bigr) + C.
Voltando a x (lembre que u = x - \tfrac{1}{3}):
\int \frac{dx}{3x^{2}-2x+5} = \frac{1}{\sqrt{14}} \arctan\!\Bigl(\frac{3x-1}{\sqrt{14}}\Bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{dx}{3x^{2}-2x+5} = \frac{1}{\sqrt{14}}\arctan\!\Bigl(\frac{3x-1}{\sqrt{14}}\Bigr) + C }

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