Calcule as seguintes integrais pelo Método da Substituição Simples:
\int \frac{x^{3} d x}{9 x^{2}+16}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{3}\,dx}{9x^{2}+16}
usando o método da substituição simples. Vamos precisar reconhecer uma parte da integral que, ao derivar, apareça proporcional ao numerador, e reescrever o integrando em função de uma nova variável \,u.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 9x^{2} + 16.
Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 18x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{18}.

Passo 3

Reescrevemos x^{3}\,dx como x^{2}\cdot x\,dx. Note que de u=9x^{2}+16 segue
x^{2} = \frac{u - 16}{9}.
Portanto
x^{3}\,dx = x^{2}\,(x\,dx) = \frac{u - 16}{9}\,\frac{du}{18} = \frac{u - 16}{162}\,du.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{x^{3}\,dx}{9x^{2}+16} = \int \frac{\tfrac{u - 16}{162}\,du}{u} = \frac{1}{162}\int \frac{u - 16}{u}\,du = \frac{1}{162}\int \Bigl(1 - \frac{16}{u}\Bigr)\,du.

Passo 5

Agora integramos em u:
\frac{1}{162}\int \Bigl(1 - \frac{16}{u}\Bigr)\,du = \frac{1}{162}\Bigl(u - 16\ln\lvert u\rvert\Bigr) + C.
Voltando à variável x com u=9x^{2}+16:
= \frac{1}{162}\bigl(9x^{2}+16 - 16\ln\lvert 9x^{2}+16\rvert\bigr) + C.

Passo 6

Podemos distribuir e simplificar:
\frac{9x^{2}}{162} = \frac{x^{2}}{18}, \quad \frac{16}{162} = \frac{8}{81}, \quad \frac{16}{162} = \frac{8}{81}.
Logo a primitiva fica, absorvendo constantes em C:
\boxed{ \int \frac{x^{3}\,dx}{9x^{2}+16} = \frac{x^{2}}{18} - \frac{8}{81}\,\ln\bigl(9x^{2}+16\bigr) + C. }

Resposta

\frac{x^{2}}{18} - \frac{8}{81}\,\ln\bigl(9x^{2}+16\bigr) + C.

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