Calcule as seguintes integrais pelo Método da Substituição Simples:
\int \frac{x^{3} d x}{\left(x^{2}+4\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{3}}{\bigl(x^{2}+4\bigr)^{3/2}}\,dx
usando o método da substituição simples. Para isso, vamos escolher uma substituição que torne o denominador mais simples e depois reescrever todo em termos da nova variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 4,
logo
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Repare que precisamos também expressar x^{3}\,dx em função de u.

Passo 3

Escrevemos
x^{3}\,dx = x^{2}\,(x\,dx).
Mas como x^{2} = u - 4, temos
x^{3}\,dx = (u - 4)\,\frac{du}{2} = \frac{u}{2}\,du \;-\; 2\,du.

Passo 4

Substituindo no integrando, obtemos
\int \frac{x^{3}}{\bigl(x^{2}+4\bigr)^{3/2}}\,dx = \int \frac{\tfrac{u}{2}\,du \;-\; 2\,du}{u^{3/2}} = \int \Bigl(\frac{u/2}{u^{3/2}} \;-\; \frac{2}{u^{3/2}}\Bigr)\,du.

Passo 5

Simplificando cada termo:
\frac{u/2}{u^{3/2}} = \frac{1}{2}\,u^{-1/2}, \qquad \frac{2}{u^{3/2}} = 2\,u^{-3/2}.
Logo o integral vira
\int \Bigl(\frac{1}{2}\,u^{-1/2} - 2\,u^{-3/2}\Bigr)\,du.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int \frac{1}{2}\,u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2}\,\cdot 2\,u^{1/2} = u^{1/2},
\int -2\,u^{-3/2}\,du = -2\,\cdot \Bigl(-2\,u^{-1/2}\Bigr) = 4\,u^{-1/2}.
Somando e adicionando a constante C, temos
u^{1/2} + 4\,u^{-1/2} + C.

Passo 7

Voltando à variável x pela substituição u = x^{2} + 4, obtemos a antiderivada
\sqrt{x^{2}+4} \;+\; \frac{4}{\sqrt{x^{2}+4}} \;+\; C.

Resposta

\int \frac{x^{3}}{\bigl(x^{2}+4\bigr)^{3/2}}\,dx = \sqrt{x^{2}+4} \;+\; \frac{4}{\sqrt{x^{2}+4}} \;+\; C.

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