Calcule as seguintes integrais pelo Método da Substituição Simples:
\int \frac{x d x}{\sqrt{1-4 x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{1-4x^{2}}}
usando o método da substituição simples. A ideia é escolher u como o radicando 1-4x^{2}, pois sua derivada difere de x apenas por constante.

Passo 2

Definimos
u = 1 - 4x^{2}.
Diferenciando, vem
du = -8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{8}\,du.

Passo 3

Substituímos u e x\,dx na integral:
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{1-4x^{2}}} = \int \frac{-\tfrac18\,du}{\sqrt{u}} = -\frac{1}{8}\int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Para integrar u^{-\tfrac12} usamos
\int u^{p}\,du = \frac{u^{p+1}}{p+1},
com p=-\tfrac12. Assim,
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2u^{\tfrac12},
e então
-\frac{1}{8}\int u^{-\tfrac12}\,du = -\frac{1}{8}\cdot2u^{\tfrac12} + C = -\frac{1}{4}u^{\tfrac12} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x com u=1-4x^{2}, obtemos
-\frac{1}{4}\sqrt{1-4x^{2}} + C.

Resposta

-\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{1-4x^{2}} + C

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