Calcule as seguintes integrais pelo Método da Substituição Simples:
\int x^{2}\left(x^{3}-1\right)^{10} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{2}\bigl(x^{3}-1\bigr)^{10}\,dx
usando o método da substituição simples. Aqui o ponto chave é identificar o polinômio x^{3}-1 como candidato a u.

Passo 2

Definimos
u = x^{3} - 1.
Diferenciando, obtemos
du = 3\,x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u e já integrando, temos
\int x^{2}\bigl(x^{3}-1\bigr)^{10}\,dx = \int u^{10}\,\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{10}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{11}}{11}+C = \frac{u^{11}}{33}+C.

Passo 4

Voltando à variável original x, basta substituir u = x^{3}-1:
\frac{\bigl(x^{3}-1\bigr)^{11}}{33}+C.

Resposta

\frac{\bigl(x^{3}-1\bigr)^{11}}{33}+C.

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