Calcule as seguintes integrais, observando que o campo é conservativo:
integralC xx^2+y^2 d x+yx^2+y^2 d y, onde C é uma curva C^1 por partes que liga o ponto (-1,0) ao ponto (1,0).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral de linha
integralCxx^2+y^2,dx+yx^2+y^2,dy
onde C é qualquer curva C^1 por partes que liga (-1,0) a (1,0). O campo de vetores é
F(x,y)=l(xx^2+y^2,,yx^2+y^2r)
e nos dizem que ele é conservativo. Vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos, que diz que, se F=nablaphi, então
integralCFcdot d r=phil( r(1)r)-phil( r(0)r)

Passo 2

Vamos encontrar uma potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=xx^2+y^2 e partial phipartial y=yx^2+y^2
Uma função que satisfaz isso é
phi(x,y)=tfrac12lnl(x^2+y^2r),
pois
partialpartial xl[tfrac12ln(x^2+y^2)r] =12cdot2xx^2+y^2 =xx^2+y^2,
partialpartial yl[tfrac12ln(x^2+y^2)r] =12cdot2yx^2+y^2 =yx^2+y^2

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental, como F=nablaphi, a integral independe do caminho (desde que não passe pelo ponto singular (0,0)) e vale
integralCFcdot d r =phil(1,0r)-phil(-1,0r)

Passo 4

Calculemos os valores de phi nos pontos extremos:
phi(1,0)=tfrac12lnl(1^2+0^2r) =tfrac12ln(1)=0,
phi(-1,0)=tfrac12lnl((-1)^2+0^2r) =tfrac12ln(1)=0

Resposta

integralCxx^2+y^2,dx+yx^2+y^2,dy=0

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