Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
f(x)=x+1x

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
f(x)=x+1x,
cujo domínio é
D = (-infty,0),cup,(0,infty)
O conteúdo que vamos usar é o teste da derivada: calcular f'(x), encontrar os pontos críticos e analisar o sinal de f'(x) em cada parte do domínio.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Usando a regra da soma e a regra da potência para x^-1, temos
f'(x) = ddxl(xr) + ddxl(x^-1r) = 1 + (-1),x^-2 = 1 - 1x^2

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
1 - 1x^2 = 0 Longrightarrow 1x^2 = 1 Longrightarrow x^2 = 1 Longrightarrow x = pm 1
Além disso, x=0 não pertence ao domínio, mas separa as regiões.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=1-tfrac1x^2 em cada intervalo determinado pelos pontos -1, 0 e 1:
Para lvert xrvert>1 (ou seja, x<-1 ou x>1) temos x^2>1, logo tfrac1x^2<1 e então
f'(x)=1-1x^2>0,
o que indica crescimento nessas regiões.
Para 0<lvert xrvert<1 (ou seja, -1<x<0 ou 0<x<1) temos x^2<1, logo tfrac1x^2>1 e
f'(x)=1-1x^2<0,
o que indica decrescimento nessas regiões.

Passo 5

Com base na análise de sinal:
  • f'(x)>0 em (-infty,-1) e (1,infty), então f cresce nesses intervalos.
  • f'(x)<0 em (-1,0) e (0,1), então f decresce nesses intervalos.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-infty,-1) e (1,infty).
Intervalos de decrescimento: (-1,0) e (0,1).

Exercícios relacionados