Calcule as seguintes integrais(observe que é necessário mudar a ordem de integração)
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla iterada
e pede para calculá‑la observando que é necessário mudar a ordem de integração.
Informações relevantes do enunciado:
- O integrando é
. - A integração externa tem limite inferior
e limite superior . - Para cada
no intervalo dado, a integração interna em vai de até . - O enunciado indica explicitamente que é preciso trocar a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro vamos descrever a região de integração
no plano
usando as desigualdades fornecidas pelos limites:
-
, -
.
Escrever essas desigualdades de forma equivalente ajuda a ver os limites quando trocamos a ordem. A desigualdade
é equivalente a
(porque a função exponencial é estritamente crescente, portanto pode-se aplicar
em ambos os lados). Assim a região pode ser descrita como
Note que aqui foi usada a observação de que quando
tem-se
, então o menor valor de
na região é
.
Passo 3
A partir da descrição alternativa de
concluímos os novos limites ao trocar a ordem de integração:
-
varia de até , - para cada
fixo no intervalo , varia de até .
Portanto a integral com ordem trocada fica
Passo 4
Antes de integrar, é importante justificar a troca de ordem: o integrando
é não negativo em
porque em
temos
e, para
,
; o único ponto com
é
, que aparece apenas como extremo da região. Como a função é não negativa (medível) na região
, por Tonelli (teorema de integração para funções não negativas) é permitido trocar a ordem de integração sem problemas de validade (podemos também entender a integral original como um impróprio e fazer o procedimento por limites). Logo a troca feita no passo anterior é válida.
Passo 5
Agora calculamos a integral trocada. Observe que dentro da integral interna a variável
não aparece no integrando, então podemos tratá‑lo como constante em relação a
:
Calcule a integral interna:
Substituindo,
Passo 6
A integral final é simples:
Portanto o valor da integral dada é
.