Calcule as seguintes integrais(observe que é necessário mudar a ordem de integração)
\int_{0}^{\ln 10} \int_{e^{x}}^{10} \frac{1}{\ln y} d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla iterada
\int_{0}^{\ln 10} \int_{e^{x}}^{10} \frac{1}{\ln y}\,dy\,dx,
e pede para calculá‑la observando que é necessário mudar a ordem de integração.
Informações relevantes do enunciado:
  • O integrando é \dfrac{1}{\ln y}.
  • A integração externa tem limite inferior x=0 e limite superior x=\ln 10.
  • Para cada x no intervalo dado, a integração interna em y vai de y=e^{x} até y=10.
  • O enunciado indica explicitamente que é preciso trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro vamos descrever a região de integração D no plano (x,y) usando as desigualdades fornecidas pelos limites:
  • 0 \le x \le \ln 10,
  • e^{x} \le y \le 10.
Escrever essas desigualdades de forma equivalente ajuda a ver os limites quando trocamos a ordem. A desigualdade e^{x} \le y é equivalente a x \le \ln y (porque a função exponencial é estritamente crescente, portanto pode-se aplicar \ln(\cdot) em ambos os lados). Assim a região pode ser descrita como
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le \ln 10,\\ e^{x}\le y \le 10\} = \{(x,y)\mid 1 \le y \le 10,\\\ 0 \le x \le \ln y\}.
Note que aqui foi usada a observação de que quando x=0 tem-se e^{0}=1, então o menor valor de y na região é 1.

Passo 3

A partir da descrição alternativa de D concluímos os novos limites ao trocar a ordem de integração:
  • y varia de 1 até 10,
  • para cada y fixo no intervalo [1,10], x varia de 0 até \ln y.
Portanto a integral com ordem trocada fica
\int_{1}^{10} \int_{0}^{\ln y} \frac{1}{\ln y}\,dx\,dy.

Passo 4

Antes de integrar, é importante justificar a troca de ordem: o integrando \dfrac{1}{\ln y} é não negativo em D porque em D temos y\in[1,10] e, para y>1, \ln y>0; o único ponto com \ln y=0 é y=1, que aparece apenas como extremo da região. Como a função é não negativa (medível) na região D, por Tonelli (teorema de integração para funções não negativas) é permitido trocar a ordem de integração sem problemas de validade (podemos também entender a integral original como um impróprio e fazer o procedimento por limites). Logo a troca feita no passo anterior é válida.

Passo 5

Agora calculamos a integral trocada. Observe que dentro da integral interna a variável x não aparece no integrando, então podemos tratá‑lo como constante em relação a x:
\int_{1}^{10} \int_{0}^{\ln y} \frac{1}{\ln y}\,dx\,dy = \int_{1}^{10} \frac{1}{\ln y}\left(\int_{0}^{\ln y} dx\right) dy.
Calcule a integral interna:
\int_{0}^{\ln y} dx = \bigl[x\bigr]_{0}^{\ln y} = \ln y - 0 = \ln y.
Substituindo,
\int_{1}^{10} \frac{1}{\ln y}\cdot (\ln y)\,dy = \int_{1}^{10} 1\,dy.

Passo 6

A integral final é simples:
\int_{1}^{10} 1\,dy = \bigl[y\bigr]_{1}^{10} = 10 - 1 = 9.
Portanto o valor da integral dada é 9.

Resposta

9

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