Use integral dupla para calcular o volume dos seguintes sólidos limitado pelos gráficos das equações:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}

Passo 1

O enunciado dá a superfície
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}
e pede o volume do sólido limitado por ela. Informações relevantes:
  • A superfície é uma esfera de raio \,r centrada na origem.
  • O sólido procurado é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le r^{2}.
  • Para cada ponto (x,y) no plano xy com x^{2}+y^{2}\le r^{2}, a coordenada z varia entre as duas raízes da equação da esfera:
z_{\text{inferior}}=-\sqrt{r^{2}-x^{2}-y^{2}},\qquad z_{\text{superior}}=+\sqrt{r^{2}-x^{2}+y^{2}}.
(O enunciado pede o volume do sólido inteiro; nada mais específico foi dado.)

Passo 2

Estratégia com dupla integral (ideia principal, passo a passo didático).
  • Para calcular volume por integrais duplas, usamos que o volume pode ser obtido integrando, sobre a projeção planar D do sólido no plano xy, a altura vertical ( z_{\text{superior}}-z_{\text{inferior}}):
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{superior}}-z_{\text{inferior}}\bigr)\,dA.
  • Aqui a projeção D é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le r^{2}\}.
  • Substituindo as alturas da esfera:
z_{\text{superior}}-z_{\text{inferior}}= \sqrt{r^{2}-x^{2}-y^{2}}-(-\sqrt{r^{2}-x^{2}-y^{2}})=2\sqrt{r^{2}-x^{2}-y^{2}}.
  • Assim
V=\iint_{D} 2\sqrt{r^{2}-x^{2}-y^{2}}\,dA.
  • Como D é um disco, é muito conveniente usar coordenadas polares no plano xy. Defina as coordenadas polares planeares \rho e \theta por
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta,
com \rho\ge0 e 0\le\theta<2\pi. O elemento de área transforma-se como
dA=\rho\,d\rho\,d\theta.
  • Em coordenadas polares a condição do disco vira 0\le\rho\le r, 0\le\theta\le2\pi, e a função sob a raiz fica r^{2}-\rho^{2}. Portanto a integral do volume é
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r} 2\sqrt{r^{2}-\rho^{2}}\;\rho\,d\rho\,d\theta.

Passo 3

Calcular a integral interna em \rho.
  • Considere a integral em \rho
I=\int_{0}^{r} 2\sqrt{r^{2}-\rho^{2}}\;\rho\,d\rho.
  • Faça a substituição usual para raízes do tipo \sqrt{r^{2}-\rho^{2}}. Tome
u=r^{2}-\rho^{2}.
Então
du=-2\rho\,d\rho\quad\Rightarrow\quad \rho\,d\rho=-\tfrac{1}{2}\,du.
  • Quando \rho=0 tem u=r^{2}. Quando \rho=r tem u=0. Substituindo em I:
I=\int_{u=r^{2}}^{u=0} 2\sqrt{u}\,\bigl(-\tfrac{1}{2}\,du\bigr).
  • Simplificando fatores:
I=-\int_{r^{2}}^{0} \sqrt{u}\,du=\int_{0}^{r^{2}} \sqrt{u}\,du.
  • Calcule a primitiva de u^{1/2}:
\int \sqrt{u}\,du=\int u^{1/2}\,du=\tfrac{2}{3}u^{3/2}.
  • Avaliando de 0 a r^{2}:
I=\left.\tfrac{2}{3}u^{3/2}\right|_{0}^{r^{2}}=\tfrac{2}{3}\bigl(r^{2}\bigr)^{3/2}.
  • Como \bigl(r^{2}\bigr)^{3/2}=r^{3}, obtemos
I=\tfrac{2}{3}r^{3}.

Passo 4

Integrar em \theta e concluir.
  • Voltando à integral dupla, já reduzimos a integral em \rho a I. Assim
V=\int_{0}^{2\pi} I\,d\theta=\int_{0}^{2\pi} \tfrac{2}{3}r^{3}\,d\theta.
  • A constante sai da integral:
V=\tfrac{2}{3}r^{3}\int_{0}^{2\pi} d\theta=\tfrac{2}{3}r^{3}\cdot 2\pi.
  • Multiplicando os fatores obtém-se o volume final.

Resposta

\dfrac{4}{3}\pi r^{3}

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