Calcule as seguintes integrais:
( 2,5 pt ) integral x^3+3 x-1x^4-4 x^2 d x

Passo 1

Resumindo: queremos calcular a integral integral x^3+3x-1x^4-4x^2,dx. O conteúdo principal é a decomposição em frações parciais para funções racionais, e vamos precisar fatorar o denominador e expressar a função como soma de termos simples.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^4-4x^2=x^2(x^2-4)=x^2(x-2)(x+2)
Em seguida montamos a decomposição em frações parciais:
x^3+3x-1x^2(x-2)(x+2)=Ax+Bx^2+Cx-2+Dx+2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^2(x-2)(x+2) e igualamos numeradores:
x^3+3x-1=A,x(x-2)(x+2)+B,(x-2)(x+2)+C,x^2(x+2)+D,x^2(x-2)
Expandindo cada termo:
A(x^3-4x)=Ax^3-4A x, B(x^2-4)=Bx^2-4B,
C(x^3+2x^2)=Cx^3+2C x^2, D(x^3-2x^2)=Dx^3-2D x^2

Passo 4

Agora somamos os coeficientes e igualamos com x^3+0x^2+3x-1:
x^3:;A+C+D=1, x^2:;B+2C-2D=0, x^1:;-4A=3, constante:;-4B=-1
Dessa forma obtemos A=-tfrac34, B=tfrac14, e resolvendo o sistema para C e D achamos C=tfrac1316 e D=tfrac1516.

Passo 5

Reescrevendo a integral como soma de termos simples:
integrall(-tfrac34,x^-1+tfrac14,x^-2+tfrac1316,(x-2)^-1+tfrac1516,(x+2)^-1r)dx
Agora integramos termo a termo usando integral x^-1dx=ln|x|, integral x^-2dx=-x^-1 e integral (xpm a)^-1dx=ln|xpm a|.

Resposta

-\tfrac{3}{4}\ln|x|-\tfrac{1}{4x}+\tfrac{13}{16}\ln|x-2|+\tfrac{15}{16}\ln|x+2|+C

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