Calcule as seguintes integrais, pela regra de substituição:
integral x^3 cos (x^4+2) d x integral x1+x^4 d x

Passo 1

Beleza, temos duas integrais aqui que a gente vai resolver usando a regra de substituição. A matéria envolvida é cálculo integral, mais especificamente substituição em integrais. Vamos precisar identificar partes das integrais que podem ser substituídas por uma nova variável para facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral x^3 cos (x^4+2) d x
Aqui, podemos notar que dentro do cosseno temos x^4 + 2. Se fizermos uma substituição u = x^4 + 2, podemos simplificar a integral.

Passo 3

Calculando a derivada de u em relação a x:
dudx = 4x^3
Isso implica que:
du = 4x^3 dx Rightarrow x^3 dx = du4
Agora, substituímos na integral:
integral x^3 cos (x^4+2) d x = integral cos(u) cdot du4 = 14 integral cos(u) du

Passo 4

A integral de cos(u) em relação a u é sin(u), então:
14 integral cos(u) du = 14 sin(u) + C
Voltando à variável original x:
14 sin(x^4 + 2) + C

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral:
integral x1+x^4 d x
Aqui, vamos fazer uma substituição semelhante. Vamos deixar u = 1 + x^4.

Passo 6

Calculando a derivada de u em relação a x:
dudx = 4x^3
Isso não parece útil diretamente, já que temos apenas x no numerador. Então, vamos tentar outra substituição. Observando que o denominador é 1 + x^4, podemos reescrever a integral de forma que a substituição funcione melhor.

Passo 7

Vamos reescrever a integral como:
integral x1+x^4 d x = 12 integral 2x1 + x^4 dx
Agora, fazemos a substituição u = x^2, então du = 2x dx.

Passo 8

Substituindo na integral:
12 integral 11 + u^2 du
A integral de 11 + u^2 é tan^-1(u), então:
12 tan^-1(u) + C
Voltando à variável original x:
12 tan^-1(x^2) + C

Resposta

A solução das integrais é:
integral x^3 cos (x^4+2) d x = 14 sin(x^4 + 2) + C
e
integral x1+x^4 d x = 12 tan^-1(x^2) + C

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