Calcule as seguintes integrais, pela regra de substituição:
Passo 1
Beleza, temos duas integrais aqui que a gente vai resolver usando a regra de substituição. A matéria envolvida é cálculo integral, mais especificamente substituição em integrais. Vamos precisar identificar partes das integrais que podem ser substituídas por uma nova variável para facilitar a resolução.
Passo 2
Vamos começar com a primeira integral:
Aqui, podemos notar que dentro do cosseno temos
. Se fizermos uma substituição
, podemos simplificar a integral.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Isso implica que:
Agora, substituímos na integral:
Passo 4
A integral de
em relação a
é
, então:
Voltando à variável original
:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda integral:
Aqui, vamos fazer uma substituição semelhante. Vamos deixar
.
Passo 6
Calculando a derivada de
em relação a
:
Isso não parece útil diretamente, já que temos apenas
no numerador. Então, vamos tentar outra substituição. Observando que o denominador é
, podemos reescrever a integral de forma que a substituição funcione melhor.
Passo 7
Vamos reescrever a integral como:
Agora, fazemos a substituição
, então
.
Passo 8
Substituindo na integral:
A integral de
é
, então:
Voltando à variável original
:
Resposta
A solução das integrais é:
e