Calcule os seguintes limites:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Neste exercício vamos calcular dois limites envolvendo comportamentos para valores grandes de variáveis: no item (a) uma diferença de raízes quadradas que gera indeterminação do tipo ∞−∞, e no item (b) uma razão cuja raiz de terceiro grau tem termo dominante de alta ordem. Vamos usar conjugado e fatoração de termos dominantes para simplificar.
Passo 2
Para o item (a), notamos a indeterminação
e multiplicamos por seu conjugado para eliminar as raízes do numerador. Aplicamos
$$
\sqrt{t{2}+t}-\sqrt{t{2}+1}
=\frac{(\sqrt{t{2}+t}-\sqrt{t{2}+1})(\sqrt{t{2}+t}+\sqrt{t{2}+1})}{\sqrt{t{2}+t}+\sqrt{t{2}+1}}
=\frac{(t{2}+t)-(t{2}+1)}{\sqrt{t{2}+t}+\sqrt{t{2}+1}}
=\frac{t-1}{\sqrt{t{2}+t}+\sqrt{t{2}+1}}.
=\frac{(\sqrt{t{2}+t}-\sqrt{t{2}+1})(\sqrt{t{2}+t}+\sqrt{t{2}+1})}{\sqrt{t{2}+t}+\sqrt{t{2}+1}}
=\frac{(t{2}+t)-(t{2}+1)}{\sqrt{t{2}+t}+\sqrt{t{2}+1}}
=\frac{t-1}{\sqrt{t{2}+t}+\sqrt{t{2}+1}}.
$$
Passo 3
Em seguida fatoramos
dentro das raízes para expor o comportamento principal quando
:
Assim a expressão vira
Quando
, as frações
e
tendem a zero, ficando
Passo 4
No item (b), temos
Observe que
domina dentro da raiz de terceiro grau. Fatoramos:
logo
Como
temos
.
Passo 5
Substituindo de volta, a expressão fica
E quando
, o termo
vai a zero, resultando
Resposta
a)
; b)
.