Calcule os seguintes limites:
a)
b) lim t +infty<=ft(sqrtt^2+t-sqrtt^2+1 )

Passo 1

Neste exercício vamos calcular dois limites envolvendo comportamentos para valores grandes de variáveis: no item (a) uma diferença de raízes quadradas que gera indeterminação do tipo ∞−∞, e no item (b) uma razão cuja raiz de terceiro grau tem termo dominante de alta ordem. Vamos usar conjugado e fatoração de termos dominantes para simplificar.

Passo 2

Para o item (a), notamos a indeterminação
raizt^2+t-raizt^2+1(tto+infty)
e multiplicamos por seu conjugado para eliminar as raízes do numerador. Aplicamos
$$
\sqrt{t{2}+t}-\sqrt{t{2}+1}
=\frac{(\sqrt{t{2}+t}-\sqrt{t{2}+1})(\sqrt{t{2}+t}+\sqrt{t{2}+1})}{\sqrt{t{2}+t}+\sqrt{t{2}+1}}
=\frac{(t{2}+t)-(t{2}+1)}{\sqrt{t{2}+t}+\sqrt{t{2}+1}}
=\frac{t-1}{\sqrt{t{2}+t}+\sqrt{t{2}+1}}.
$$

Passo 3

Em seguida fatoramos t^2 dentro das raízes para expor o comportamento principal quando tto+infty:
raizt^2+t=traiz1+tfrac1t, raizt^2+1=traiz1+tfrac1t^2
Assim a expressão vira
t-1tl(raiz1+tfrac1t+raiz1+tfrac1t^2r) =1-tfrac1traiz1+tfrac1t+raiz1+tfrac1t^2
Quando tto+infty, as frações 1/t e 1/t^2 tendem a zero, ficando
11+1=12

Passo 4

No item (b), temos
6x^2raiz[3]5x^6-1, (xto-infty)
Observe que x^6 domina dentro da raiz de terceiro grau. Fatoramos:
5x^6-1=x^6l(5-tfrac1x^6r),
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raiz[3]5x^6-1=raiz[3]x^6;raiz[3]5-tfrac1x^6 =|x^2|;raiz[3]5-tfrac1x^6
Como xto-infty temos |x^2|=x^2.

Passo 5

Substituindo de volta, a expressão fica
6x^2x^2;raiz[3]5-tfrac1x^6 =6raiz[3]5-tfrac1x^6
E quando xto-infty, o termo 1/x^6 vai a zero, resultando
6raiz[3]5

Resposta

a) tfrac12; b) tfrac6raiz[3]5.

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