(Extra) Um engenheiro civil projeta uma cisterna retangular aberta no topo, com comprimento da base sendo o dobro da largura. O volume deve ser de
. Determine as dimensões da base e da altura que minimizam a área superficial interna.
Passo 1
No primeiro passo, a gente define as variáveis e resume o enunciado: seja W a largura da base, L o comprimento (e sabemos que L = 2W) e h a altura da cisterna. O volume exigido é V = 50 m³, e vamos precisar usar Fórmulas de volume de paralelepípedo e de área superficial de caixa aberta.
Passo 2
Em seguida, expressamos a restrição do volume:
Isso nos dá h em função de W:
Passo 3
Depois, formulamos a área superficial interna (sem tampa): base + 4 faces laterais. A base vale L·W = 2W^2, e as laterais valem 2(Lh) + 2(Wh) = 2h(2W + W) = 6W,h. Portanto:
Passo 4
Substituímos h:
Passo 5
Agora, para minimizar S, derivamos em relação a W e igualamos a zero:
Passo 6
Resolvendo, obtemos
Passo 7
Finalmente, calculamos L e h:
Resposta
Largura W ≈ 3,35 m, Comprimento L = 2W ≈ 6,70 m e Altura h ≈ 2,23 m.