(Extra) Um engenheiro civil projeta uma cisterna retangular aberta no topo, com comprimento da base sendo o dobro da largura. O volume deve ser de 50 m^3. Determine as dimensões da base e da altura que minimizam a área superficial interna.

Passo 1

No primeiro passo, a gente define as variáveis e resume o enunciado: seja W a largura da base, L o comprimento (e sabemos que L = 2W) e h a altura da cisterna. O volume exigido é V = 50 m³, e vamos precisar usar Fórmulas de volume de paralelepípedo e de área superficial de caixa aberta.

Passo 2

Em seguida, expressamos a restrição do volume:
V = L,W,h = 2W^2,h = 50
Isso nos dá h em função de W:
h = 502W^2 = 25W^2

Passo 3

Depois, formulamos a área superficial interna (sem tampa): base + 4 faces laterais. A base vale L·W = 2W^2, e as laterais valem 2(Lh) + 2(Wh) = 2h(2W + W) = 6W,h. Portanto:
S(W) = 2W^2 + 6W,h

Passo 4

Substituímos h:
S(W) = 2W^2 + 6Wcdot25W^2 = 2W^2 + 150W

Passo 5

Agora, para minimizar S, derivamos em relação a W e igualamos a zero:
S'(W) = 4W - 150W^2 = 0 Longrightarrow 4W^3 = 150 Longrightarrow W^3 = 37,5

Passo 6

Resolvendo, obtemos
W = raiz[3]37,5approx 3,35 m

Passo 7

Finalmente, calculamos L e h:
L = 2W approx 2times3,35 = 6,70 m,
h = 25W^2 approx 25(3,35)^2 approx 2,23 m

Resposta

Largura W ≈ 3,35 m, Comprimento L = 2W ≈ 6,70 m e Altura h ≈ 2,23 m.

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