Calcule as seguintes integrais trigonométricas.
\int 8 \cos ^{3}(2 \theta) \sin (2 \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 8 \cos^{3}(2\theta)\,\sin(2\theta)\,d\theta.
O conteúdo aqui é integração por substituição: identificamos um fator cuja derivada aparece no integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \cos(2\theta).
Então
du = \frac{d}{d\theta}[\cos(2\theta)]\,d\theta = -2\sin(2\theta)\,d\theta
ou seja
\sin(2\theta)\,d\theta = -\frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Voltando à integral original, temos
\int 8 \cos^{3}(2\theta)\,\sin(2\theta)\,d\theta = \int 8\,u^{3}\,\Bigl(-\tfrac{1}{2}du\Bigr) = -4 \int u^{3}\,du.
Agora integramos em u:
-4 \int u^{3}\,du = -4\cdot \frac{u^{4}}{4} = -u^{4} + C.

Passo 4

Voltando à variável \theta, substituímos u = \cos(2\theta):
-u^{4} + C = -\cos^{4}(2\theta) + C.

Resposta

\int 8 \cos^{3}(2\theta)\,\sin(2\theta)\,d\theta = -\cos^{4}(2\theta) + C.

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