Calcule as integrais abaixo, usando substituição trigonométricas.
\int \frac{d x}{\left(x^{2}-1\right)^{3 / 2}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3/2}}
usando substituições trigonométricas. Note que o integrando exige x^{2}-1>0, ou seja \lvert x\rvert>1. Vamos adotar a substituição padrão
x = \operatorname{sec}\theta,
que lida bem com expressões do tipo x^{2}-1.

Passo 2

Com x = \operatorname{sec}\theta temos
dx = \operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta
e
x^{2}-1 = \operatorname{sec}^{2}\theta -1 = \tan^{2}\theta,
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\sqrt{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3}} = \bigl(\tan^{2}\theta\bigr)^{3/2} = \tan^{3}\theta.

Passo 3

Substituindo no integrando:
\int \frac{dx}{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3/2}} = \int \frac{\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta}{\tan^{3}\theta} = \int \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta.
Usando \tan^{2}\theta=\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}, obtém-se
\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta} = \frac{1/\cos\theta}{\sin^{2}\theta/\cos^{2}\theta} = \frac{\cos^{2}\theta}{\cos\theta\,\sin^{2}\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta} = \cot\theta\,\csc\theta.

Passo 4

Assim o integral fica
\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta.
Sabemos que
\frac{d}{d\theta}\bigl(\csc\theta\bigr) = -\csc\theta\,\cot\theta,
portanto
\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta = -\csc\theta + C.

Passo 5

Só falta voltar a variável x. De x=\operatorname{sec}\theta segue \cos\theta=1/x e
\sin\theta = \sqrt{1-\cos^{2}\theta} = \sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{\lvert x\rvert}.
Para \lvert x\rvert>1 tomamos \lvert x\rvert=x, logo
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Substituindo em -\csc\theta obtemos
-\csc\theta = -\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} + C.

Resposta

\int \frac{dx}{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3/2}} = -\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} + C.

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