Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
\int \operatorname{sen}^{6} x d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular \int \sin^6 x\,dx. Esse tipo de integral de potência par do seno é resolvido com redução de potência, usando a identidade
\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}.

Passo 2

Como \sin^6 x = (\sin^2 x)^3, substituímos e obtemos
\sin^6 x = \Bigl(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\Bigr)^3 = \frac{1}{8}\,(1 - \cos(2x))^3 = \frac{1}{8}\bigl[1 - 3\cos(2x) + 3\cos^2(2x) - \cos^3(2x)\bigr].

Passo 3

Agora usamos as fórmulas
\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}, \qquad \cos^3(2x) = \frac{3\cos(2x) + \cos(6x)}{4},
para reescrever tudo como soma de cossenos simples. Depois de substituir e simplificar, chega-se a
\sin^6 x = \frac{5}{16} - \frac{15}{32}\cos(2x) + \frac{3}{16}\cos(4x) - \frac{1}{32}\cos(6x).

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \sin^6 x\,dx = \int \Bigl(\frac{5}{16} - \frac{15}{32}\cos(2x) + \frac{3}{16}\cos(4x) - \frac{1}{32}\cos(6x)\Bigr)\,dx.
Fazendo cada integral:
\int \frac{5}{16}\,dx = \frac{5}{16}x, \quad \int \cos(2x)\,dx = \frac{\sin(2x)}{2}, \quad \int \cos(4x)\,dx = \frac{\sin(4x)}{4}, \quad \int \cos(6x)\,dx = \frac{\sin(6x)}{6}.
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\int \sin^6 x\,dx = \frac{5}{16}x - \frac{15}{32}\cdot\frac{\sin(2x)}{2} + \frac{3}{16}\cdot\frac{\sin(4x)}{4} - \frac{1}{32}\cdot\frac{\sin(6x)}{6} + C.

Resposta

\int \sin^6 x\,dx = \frac{5}{16}x - \frac{15}{64}\sin(2x) + \frac{3}{64}\sin(4x) - \frac{1}{192}\sin(6x) + C.

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