Calcule as seguintes integrais triplas:
, onde W é limitado pelo parabolóide
e pelo plano
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é descrito apenas como “limitado pelo parabolóide
” e pelo plano “
”. Trata-se de uma integral tripla em que precisamos conhecer completamente a região
para parametrizá-la e montar os limites de integração.
Passo 2
Para que uma integral tripla seja bem-definida e finita, a região
deve ser fechada e limitada por superfícies que a encerrem por todos os lados (em
,
e
). Aqui temos apenas duas superfícies:
- o parabolóide
, que abre para cima a partir do plano ; - o plano vertical
.
Essas duas superfícies não fecham
nem no sentido de
(fica aberto para
) nem no sentido de
(fica aberto para
acima do parabolóide).
Passo 3
Sem mais condições de fronteira — por exemplo, nenhum limite em
, nenhuma outra superfície superior em
, nem plano
— a região
é aberta/infinita e não está completamente definida. Não há como montar limites de integração que fechem o volume finito.
Resposta
Não é possível calcular a integral pois a região
dada está incompleta e não forma um volume fechado (está aberta em
e em
).