Calcule as seguintes integrais triplas:
, onde W é limitado pelo parabolóide e pelo plano

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral triplaW z ,dx,dy,dz
onde W é descrito apenas como “limitado pelo parabolóide ,z=4x^2+4y^2,” e pelo plano “ ,x=4”. Trata-se de uma integral tripla em que precisamos conhecer completamente a região W para parametrizá-la e montar os limites de integração.

Passo 2

Para que uma integral tripla seja bem-definida e finita, a região W deve ser fechada e limitada por superfícies que a encerrem por todos os lados (em x, y e z). Aqui temos apenas duas superfícies:
  1. o parabolóide z=4x^2+4y^2, que abre para cima a partir do plano z=0;
  2. o plano vertical x=4.
Essas duas superfícies não fecham W nem no sentido de y (fica aberto para ytopminfty) nem no sentido de z (fica aberto para zto+infty acima do parabolóide).

Passo 3

Sem mais condições de fronteira — por exemplo, nenhum limite em y, nenhuma outra superfície superior em z, nem plano z=constante — a região W é aberta/infinita e não está completamente definida. Não há como montar limites de integração que fechem o volume finito.

Resposta

Não é possível calcular a integral pois a região W dada está incompleta e não forma um volume fechado (está aberta em y e em z).

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