Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.
f(x)= x-sen xx^3 & se x neq 0 16 & se x=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)= dfracx-sen xx^3,&xneq0, dfrac16,&x=0
O conteúdo usado será a expansão de Maclaurin de sen x.

Passo 2

Da Tabela de séries de Maclaurin, sabemos que
sen x = x - x^33! + x^55! - x^77! + cdots

Passo 3

Vamos computar o numerador x-sen x:
x-sen x = x - l(x - x^33! + x^55! - cdotsr) = x^36 - x^5120 + x^75040 - cdots

Passo 4

Dividindo por x^3 (para xneq0), obtemos
x-sen xx^3 = 16 - x^2120 + x^45040 - cdots
E vemos que, no limite xto0, isso tende a tfrac16, compatível com f(0)=tfrac16.

Resposta

f(x)=x-sen xx^3 = 16 - x^2120 + x^45040 - x^6362880 + cdots

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