Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.
f(x)=x^2raiz2+x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=x^2raiz2+x
Usaremos a expansão binomial (Tabela 1) para
(1+u)^alpha=sumk=0^inftybinomalphak,u^k,
válida para lvert urvert<1.

Passo 2

Reescrevendo f(x) de forma adequada para aplicar o binômio, temos
f(x)=x^2raiz2+x =x^2raiz2,raiz1+x2 =x^2raiz2;l(1+tfracx2r)^-tfrac12

Passo 3

Pela fórmula da série binomial com alpha=-tfrac12 e
u=x2,
obtemos
l(1+tfracx2r)^-tfrac12 =sumk=0^inftybinom-tfrac12kl(tfracx2r)^k

Passo 4

Multiplicando por tfracx^2raiz2, deduzimos a série geral
f(x) =x^2raiz2sumk=0^inftybinom-tfrac12kl(tfracx2r)^k

Passo 5

Calculando os primeiros coeficientes:
binom-tfrac120=1, binom-tfrac121=-tfrac12, binom-tfrac122=tfrac38, binom-tfrac123=-tfrac516,;dots
Logo os primeiros termos são
f(x) =1raiz2x^2 -14raiz2x^3 +332raiz2x^4 -5128raiz2x^5 +cdots

Resposta

boxedf(x)=x^2raiz2 sumk=0^inftybinom-tfrac12kl(tfracx2r)^k =1raiz2x^2 -14raiz2x^3 +332raiz2x^4 -5128raiz2x^5 +cdots

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