Calcule as seguintes integrais usando o Método das Frações Parciais:
\int \frac{d x}{x^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{x^{3}+1}
usando o Método das Frações Parciais. O conteúdo envolve decompor a função racional em frações mais simples e integrar cada uma usando logaritmos para termos lineares e arctan para quadráticos irreduzíveis.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1).
Em seguida escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{x^{3}+1} =\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}-x+1}.

Passo 3

Multiplicando por x^{3}+1\) obtemos \[1 = A(x^{2}-x+1)+(Bx+C)(x+1).
Expandindo e coletando termos:
1=(A+B)x^{2}+(-A+B+C)x+(A+C).
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A+B=0,\\\\ -\,A+B+C=0,\\\ A+C=1, \end{cases}
resulta em A=\tfrac13\], \(B=-\tfrac13, C=\tfrac23.

Passo 4

Substituindo de volta:
\frac{1}{x^{3}+1} =\frac{\tfrac13}{x+1} +\frac{-\tfrac13x+\tfrac23}{x^{2}-x+1}.
Logo
\int \frac{dx}{x^{3}+1} =\frac13\int\frac{dx}{x+1} +\int\frac{-\tfrac13x+\tfrac23}{x^{2}-x+1}\,dx.
No segundo termo, escrevemos o numerador como
-\,\tfrac13x+\tfrac23 =-\tfrac16\,(2x-1)+\tfrac12,
pois 2x-1 é a derivada de x^{2}-x+1.

Passo 5

Integramos cada parte:
\frac13\int\frac{dx}{x+1} =\frac13\ln\lvert x+1\rvert.
\int\frac{-\tfrac16(2x-1)}{x^{2}-x+1}\,dx =-\tfrac16\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr).
\int\frac{\tfrac12}{x^{2}-x+1}\,dx =\tfrac12\int\frac{dx}{(x-\tfrac12)^{2}+\tfrac34} =\frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr).

Passo 6

Somando tudo, obtemos
\int \frac{dx}{x^{3}+1} =\frac13\ln\lvert x+1\rvert -\frac16\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr) +\frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr) + C.

Resposta

\int \frac{dx}{x^{3}+1} =\frac13\ln\lvert x+1\rvert -\frac16\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr) +\frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr) + C.

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