Calcule as seguintes integrais usando o Método das Frações Parciais:
\int \frac{2 x-1}{(x-1)(x+2)} d x

Passo 1

O enunciado pede
\int \frac{2x-1}{(x-1)(x+2)}\,dx
e vamos usar o método das frações parciais, que serve para decompor uma função racional em termos da forma \frac{A}{x-a}, cuja integração é direta.

Passo 2

Escrevemos
\frac{2x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+2)\), obtemos \[2x - 1 = A(x+2) + B(x-1).
Expandindo o lado direito dá
2x - 1 = (A + B)\,x + (2A - B).
Comparando coeficientes de x e termo constante, montamos o sistema
\begin{cases} A + B = 2,\\\\ 2A - B = -1. \end{cases}
Somando as duas equações vem (3A = 1], logo
A = \tfrac{1}{3},
e então
B = 2 - A = 2 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{3}.

Passo 3

Substituindo A e B na decomposição, ficamos com
\frac{2x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{\tfrac{1}{3}}{x-1} + \frac{\tfrac{5}{3}}{x+2} = \frac{1}{3}\,\frac{1}{x-1} + \frac{5}{3}\,\frac{1}{x+2}.
Como sabemos que
\int \frac{dx}{x-a} = \ln\lvert x-a\rvert + C,
temos
\int \frac{2x-1}{(x-1)(x+2)}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{x-1} + \frac{5}{3}\int \frac{dx}{x+2} = \frac{1}{3}\ln\lvert x-1\rvert + \frac{5}{3}\ln\lvert x+2\rvert + C.

Resposta

\frac{1}{3}\ln\lvert x-1\rvert + \frac{5}{3}\ln\lvert x+2\rvert + C.

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