Calcule as seguintes integrais usando o Método das Frações Parciais:
\int \frac{\left(x^{5}+x^{4}-8\right)}{x^{3}-4 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-4x}\,dx
usando o método de frações parciais. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, vamos primeiro fazer divisão de polinômios e depois decompor a parte fracionária.

Passo 2

Dividindo x^{5}+x^{4}-8 por x^{3}-4x:
\frac{x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-4x} = x^{2}+x+4+\frac{4x^{2}+16x-8}{x^{3}-4x}.
Note que x^{3}-4x = x(x^{2}-4)=x(x-2)(x+2).

Passo 3

Escrevemos a parte fracionária em frações parciais:
\frac{4x^{2}+16x-8}{x(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por x(x-2)(x+2), obtemos
4x^{2}+16x-8 = A\,(x-2)(x+2)+B\,x(x+2)+C\,x(x-2).

Passo 4

Para achar A, B e C podemos usar valores convenientes de x:
  • Se x=0: -8 = A\cdot(-2)\cdot2 \implies -8 = -4A \implies A=2. - Se x=2: 4\cdot4+32-8 = 40 = B\cdot2\cdot4 \implies 40=8B \implies B=5. - Se x=-2: 4\cdot4-32-8 = -24 = C\cdot(-2)\cdot(-4) \implies -24=8C \implies C=-3. Logo,
\frac{4x^{2}+16x-8}{x(x-2)(x+2)} = \frac{2}{x} + \frac{5}{x-2} - \frac{3}{x+2}.

Passo 5

Substituindo na integral original:
\int \frac{x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-4x}\,dx = \int\bigl(x^{2}+x+4\bigr)\,dx + \int\Bigl(\frac{2}{x}+\frac{5}{x-2}-\frac{3}{x+2}\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\quad \int 4\,dx = 4x,
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln\lvert x\rvert,\quad \int \frac{5}{x-2}\,dx = 5\ln\lvert x-2\rvert,\quad \int \frac{-3}{x+2}\,dx = -3\ln\lvert x+2\rvert.

Resposta

\int \frac{x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-4x}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 4x + 2\ln\lvert x\rvert + 5\ln\lvert x-2\rvert - 3\ln\lvert x+2\rvert + C.

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