Calcule as seguintes integrais usando o Método das Frações Parciais: \int \frac{6 x^{4}-5 x^{3}+4 x^{2}}{2 x^{2}-x+1} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular
\int \frac{6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}}{2x^{2}-x+1}\,dx
usando o método das frações parciais. Como o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (2), vamos primeiro fazer a divisão de polinômios para escrever a integral como soma de um polinômio mais uma fração própria. Em seguida, trataremos a parte própria por decomposição em termos de derivada do denominador e um termo que leva a arcotangente.
Passo 2
Dividindo
6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}
por
2x^{2}-x+1
temos:
6x^{4}/(2x^{2})=3x^{2}. Multiplicando 3x^{2}(2x^{2}-x+1)=6x^{4}-3x^{3}+3x^{2} e subtraindo, sobra -2x^{3}+x^{2}.
-2x^{3}/(2x^{2})=-x. Multiplicando -x(2x^{2}-x+1)=-2x^{3}+x^{2}-x e subtraindo, sobra x.
Como x tem grau menor que 2x^{2}-x+1, paramos.
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