Calcule as seguintes integrais usando o Método das Frações Parciais:
\int \frac{6 x^{4}-5 x^{3}+4 x^{2}}{2 x^{2}-x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}}{2x^{2}-x+1}\,dx
usando o método das frações parciais. Como o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (2), vamos primeiro fazer a divisão de polinômios para escrever a integral como soma de um polinômio mais uma fração própria. Em seguida, trataremos a parte própria por decomposição em termos de derivada do denominador e um termo que leva a arco­tangente.

Passo 2

Dividindo
6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}
por
2x^{2}-x+1
temos:
  1. 6x^{4}/(2x^{2})=3x^{2}. Multiplicando 3x^{2}(2x^{2}-x+1)=6x^{4}-3x^{3}+3x^{2} e subtraindo, sobra -2x^{3}+x^{2}.
  2. -2x^{3}/(2x^{2})=-x. Multiplicando -x(2x^{2}-x+1)=-2x^{3}+x^{2}-x e subtraindo, sobra x.
    Como x tem grau menor que 2x^{2}-x+1, paramos.
    Logo
\frac{6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}}{2x^{2}-x+1} =3x^{2}-x+\frac{x}{2x^{2}-x+1}.

Passo 3

Escrevendo a integral, fica
\int\Bigl(3x^{2}-x\Bigr)dx +\int \frac{x}{2x^{2}-x+1}\,dx.
Integramos primeiro os termos polinomiais:
\int3x^{2}dx = x^{3}, \quad \int(-x)dx = -\frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Restou
\int \frac{x}{2x^{2}-x+1}\,dx.
Para esse tipo de fração sobre quadrático irreduzível, escrevemos o numerador como combinação da derivada do denominador mais constante. Note que
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}-x+1\bigr)=4x-1.
Logo podemos escrever
x = \frac{1}{4}\bigl((4x-1)+1\bigr).
Isso dá
\int \frac{x}{2x^{2}-x+1}\,dx = \frac{1}{4}\int \frac{4x-1}{2x^{2}-x+1}\,dx + \frac{1}{4}\int \frac{1}{2x^{2}-x+1}\,dx.

Passo 5

No primeiro termo fazemos u=2x^{2}-x+1, du=(4x-1)\,dx, então
\frac{1}{4}\int \frac{4x-1}{2x^{2}-x+1}\,dx =\frac{1}{4}\int \frac{du}{u} =\frac{1}{4}\ln\bigl|2x^{2}-x+1\bigr|.

Passo 6

No segundo termo precisamos completar o quadrado em 2x^{2}-x+1:
2x^{2}-x+1 =2\Bigl(x^{2}-\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{2}\Bigr) =2\Bigl((x-\tfrac{1}{4})^{2}+\tfrac{7}{16}\Bigr).
Então
\int \frac{1}{2x^{2}-x+1}\,dx =\frac{1}{2}\int \frac{dx}{(x-\tfrac{1}{4})^{2}+\bigl(\tfrac{\sqrt7}{4}\bigr)^{2}} =\frac{2}{\sqrt7}\arctan\!\Bigl(\frac{4x-1}{\sqrt7}\Bigr).
Multiplicando pelo \tfrac{1}{4} do Passo 4, obtemos
\frac{1}{4}\int \frac{1}{2x^{2}-x+1}\,dx =\frac{1}{2\sqrt7}\arctan\!\Bigl(\frac{4x-1}{\sqrt7}\Bigr).

Resposta

Somando tudo, a integral vale
x^{3}-\frac{x^{2}}{2} +\frac{1}{4}\ln\bigl(2x^{2}-x+1\bigr) +\frac{1}{2\sqrt7}\arctan\!\Bigl(\frac{4x-1}{\sqrt7}\Bigr) +C.

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