Calcule as seguintes integrais usando o Método das Frações Parciais:
\int \frac{x^{2}+2 x+1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2}+2x+1}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}}\,dx
usando o método das frações parciais. O conteúdo é integração de função racional propriamente dita, e vamos decompor o integrando em parcelas simples sobre (x^{2}+1) e (x^{2}+1)^{2}.

Passo 2

Como o denominador \bigl(x^{2}+1\bigr)^{2} é irreduzível e repetido, propomos a decomposição
\frac{x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x^{2}+1)^{2} e igualamos coeficientes:
x^{2}+2x+1=(Ax+B)(x^{2}+1)+(Cx+D).
Expandindo,
(Ax+B)(x^{2}+1)=Ax^{3}+B x^{2}+A x+B,
então
x^{2}+2x+1 =Ax^{3}+B x^{2}+(A+C)x+(B+D).
Comparando termos em cada potência de x:
\begin{cases} \text{coef.\\ de }x^{3}:&A=0,\\\ \text{coef.\\ de }x^{2}:&B=1,\\\ \text{coef.\\ de }x^{1}:&A+C=2\implies C=2,\\\ \text{termo constante:}&B+D=1\implies D=0. \end{cases}

Passo 4

Substituindo A=0, B=1, C=2, D=0, a decomposição fica
\frac{x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Logo a integral se separa:
\int \frac{x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx =\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx +\int \frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.

Passo 5

Para a primeira parcela usamos a primitiva conhecida de \frac1{x^{2}+1}:
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan(x).
Para a segunda, fazemos u=x^{2}+1, de modo que du=2x\,dx. Então
\int \frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx =\int \frac{du}{u^{2}} =-\frac{1}{u} =-\frac{1}{x^{2}+1}.

Resposta

\int \frac{x^{2}+2x+1}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}}\,dx =\arctan(x)-\frac{1}{x^{2}+1}+C.

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