Calcule as seguintes integrais usando o Método das Frações Parciais:
\int \frac{x^{4}}{\left(x^{2}-1\right)(x+2)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{4}}{(x^{2}-1)(x+2)}\,dx
usando o método de frações parciais. O conteúdo é integração de função racional, que envolve dois passos principais: (1) divisão de polinômios quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador e (2) decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fazemos a divisão de polinômios entre x^{4} e
D(x)=(x^{2}-1)(x+2)=x^{3}+2x^{2}-x-2.
Dividindo x^{4} por x^{3}+2x^{2}-x-2 obtemos
x^{4}\div D(x)=x-2\quad\text{com resto}\quad 5x^{2}-4.
Logo
\frac{x^{4}}{(x^{2}-1)(x+2)} = x-2 \;+\;\frac{5x^{2}-4}{(x-1)(x+1)(x+2)}.

Passo 3

Agora decompomos
\frac{5x^{2}-4}{(x-1)(x+1)(x+2)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}.
Multiplicando por (x-1)(x+1)(x+2) obtemos a identidade
5x^{2}-4 = A(x+1)(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x-1)(x+1).
Expandindo,
A(x^{2}+3x+2)+B(x^{2}+x-2)+C(x^{2}-1) =(A+B+C)x^{2}+(3A+B)x+(2A-2B-C).

Passo 4

Comparando coeficientes com 5x^{2}+0x-4\) resulta o sistema \[\begin{cases} A+B+C=5,\\\\ 3A+B=0,\\\\ 2A-2B-C=-4. \end{cases}
Da segunda equação B=-3A\]. Substituindo na primeira e na terceira vem \[-2A+C=5,\quad 2A-2(-3A)-C=-4\] que leva a \(A=\tfrac{1}{6}, B=-\tfrac12 e C=\tfrac{16}{3}.

Passo 5

Substituindo na integral,
\int \frac{x^{4}}{(x^{2}-1)(x+2)}\,dx = \int\Bigl(x-2\Bigr)\,dx +\int\Bigl(\tfrac{1}{6}\,\frac{1}{x-1}-\tfrac12\,\frac{1}{x+1} +\tfrac{16}{3}\,\frac{1}{x+2}\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int(x-2)\,dx=\frac{x^{2}}{2}-2x,
\int\frac{1}{x-1}\,dx=\ln\lvert x-1\rvert,\quad \int\frac{1}{x+1}\,dx=\ln\lvert x+1\rvert,\quad \int\frac{1}{x+2}\,dx=\ln\lvert x+2\rvert.
Portanto o resultado é
\frac{x^{2}}{2}-2x +\frac{1}{6}\ln\lvert x-1\rvert -\frac{1}{2}\ln\lvert x+1\rvert +\frac{16}{3}\ln\lvert x+2\rvert + C.

Resposta

\int \frac{x^{4}}{(x^{2}-1)(x+2)}\,dx =\frac{x^{2}}{2}-2x +\frac{1}{6}\ln\lvert x-1\rvert -\frac{1}{2}\ln\lvert x+1\rvert +\frac{16}{3}\ln\lvert x+2\rvert +C.

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