Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} x \operatorname{cosec}^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} x\,\operatorname{cosec}^{2}(x)\,dx
e indica usar o método de integração por partes. Vamos lembrar que esse método usa a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e escolher funções adequadas para u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = x, \quad dv = \operatorname{cosec}^{2}(x)\,dx.
Então
du = dx
e, sabendo que
\frac{d}{dx}(\cot x) = -\operatorname{cosec}^{2}(x),
seguimos
v = \int \operatorname{cosec}^{2}(x)\,dx = -\cot x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes em modo indefinido, obtemos
\int x\,\operatorname{cosec}^{2}(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = -x\,\cot x - \int \bigl(-\cot x\bigr)\,dx = -x\,\cot x + \int \cot x\,dx.

Passo 4

Calculamos agora
\int \cot x\,dx.
Sabemos que
\int \cot x\,dx = \ln\bigl|\sin x\bigr|.
Portanto uma antiderivada é
F(x) = -x\,\cot x + \ln\bigl|\sin x\bigr|.

Passo 5

Avaliaremos F(x) de \frac{\pi}{4} a \frac{\pi}{2}:
Para x = \frac{\pi}{2}:
F\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\frac{\pi}{2}\cot\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + \ln\bigl(\sin\!\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\frac{\pi}{2}\cdot0 + \ln(1) = 0.
Para x = \frac{\pi}{4}:
F\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = -\frac{\pi}{4}\cot\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) + \ln\bigl(\sin\!\tfrac{\pi}{4}\bigr) = -\frac{\pi}{4}\cdot1 + \ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = -\frac{\pi}{4} + \ln\!\bigl(2^{-\tfrac12}\bigr) = -\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2.
Logo, pela definição de integral definida,
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} x\,\operatorname{cosec}^{2}(x)\,dx = F\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - F\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = 0 - \Bigl(-\frac{\pi}{4} - \tfrac{1}{2}\ln 2\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\ln 2.

Resposta

\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\ln 2

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