Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
\int_{0}^{\pi} 3^{x} \cos (x) d x

Passo 1

Resumindo, queremos calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}3^{x}\cos(x)\,dx
usando o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Vamos aplicar duas vezes para obter uma expressão que envolva a própria integral.

Passo 2

Defina
I=\int 3^{x}\cos(x)\,dx.
Escolha u=3^{x} e dv=\cos(x)\,dx. Então
du=\ln(3)\,3^{x}\,dx,\quad v=\sin(x).
Pela fórmula de partes,
I =3^{x}\sin(x)-\int \sin(x)\,\ln(3)\,3^{x}\,dx =3^{x}\sin(x)-\ln(3)\int 3^{x}\sin(x)\,dx.
Denote J=\int 3^{x}\sin(x)\,dx. Assim
I=3^{x}\sin(x)-\ln(3)\,J.

Passo 3

Para achar J, aplique partes em
J=\int 3^{x}\sin(x)\,dx.
Escolha u=3^{x}, dv=\sin(x)\,dx. Logo
du=\ln(3)\,3^{x}\,dx,\quad v=-\cos(x).
Portanto
J =-3^{x}\cos(x)-\int\bigl(-\cos(x)\bigr)\,\ln(3)\,3^{x}\,dx =-3^{x}\cos(x)+\ln(3)\int 3^{x}\cos(x)\,dx =-3^{x}\cos(x)+\ln(3)\,I.

Passo 4

Substituindo J em I=3^{x}\sin(x)-\ln(3)\,J, obtemos
I =3^{x}\sin(x)-\ln(3)\bigl(-3^{x}\cos(x)+\ln(3)\,I\bigr) =3^{x}\sin(x)+\ln(3)\,3^{x}\cos(x)-(\ln(3))^{2}I.
Reorganizando em função de I,
I+(\ln(3))^{2}I =3^{x}\bigl(\sin(x)+\ln(3)\cos(x)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I\bigl(1+(\ln(3))^{2}\bigr) =3^{x}\bigl(\sin(x)+\ln(3)\cos(x)\bigr).

Passo 5

Logo a primitiva geral é
\int 3^{x}\cos(x)\,dx =\frac{3^{x}\bigl(\sin(x)+\ln(3)\cos(x)\bigr)}{1+(\ln(3))^{2}}+C.
Para a integral definida de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi}3^{x}\cos(x)\,dx =\left[\frac{3^{x}\bigl(\sin(x)+\ln(3)\cos(x)\bigr)}{1+(\ln(3))^{2}}\right]_{0}^{\pi}.

Passo 6

Calcule o valor no limite superior x=\pi:
3^{\pi}\bigl(\sin(\pi)+\ln(3)\cos(\pi)\bigr) =3^{\pi}\bigl(0+\ln(3)\cdot(-1)\bigr) =-3^{\pi}\ln(3).
No limite inferior x=0:
3^{0}\bigl(\sin(0)+\ln(3)\cos(0)\bigr) =1\bigl(0+\ln(3)\cdot1\bigr) =\ln(3).
Portanto
\int_{0}^{\pi}3^{x}\cos(x)\,dx =\frac{-3^{\pi}\ln(3)-\ln(3)}{1+(\ln(3))^{2}} =-\frac{\ln(3)\bigl(3^{\pi}+1\bigr)}{1+(\ln(3))^{2}}.

Resposta

-\frac{\ln(3)\bigl(3^{\pi}+1\bigr)}{1+(\ln(3))^{2}}.

Exercícios relacionados