Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \operatorname{sen}(x)\cos(x).
  • Os limites de integração são x=0 e x=\frac{\pi}{4}.
  • Queremos o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): vamos usar o método de substituição. A ideia da substituição é trocar a variável x por uma nova variável u que torne a integral mais simples. Para escolher a substituição observamos que a integranda tem um produto \operatorname{sen}(x)\cos(x). Se escolhemos u=\operatorname{sen}(x), então a derivada de u em relação a x envolve exatamente \cos(x), o que facilita cancelar termos. Vou explicar isso passo a passo.

Passo 3

Escolha da substituição e cálculo do diferencial:
Escolhemos
u=\operatorname{sen}(x).
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=\cos(x).
Isolando dx em termos de du temos
du=\cos(x)\,dx.
Isso mostra que o fator \cos(x)\,dx na integral pode ser substituído por du. Agora precisamos trocar também os limites de integração para a nova variável u.

Passo 4

Mudança dos limites de integração:
  • Quando x=0, temos u=\operatorname{sen}(0)=0.
  • Quando x=\frac{\pi}{4}, temos u=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto a integral em x se transforma na integral em u:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx = \int_{u=0}^{u=\frac{\sqrt{2}}{2}} u\,du.

Passo 5

Calcule a integral em u:
A antiderivada de u é \dfrac{u^{2}}{2}. Então
\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u\,du = \left[\frac{u^{2}}{2}\right]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}\cdot 0^{2}.
Agora calculemos \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}:
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Substituindo:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
Logo a integral vale \dfrac{1}{4}.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para fixar o conceito): podemos usar a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}(x)\cos(x)=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x).
Assim
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{sen}(2x)\,dx.
Fazendo a substituição t=2x (ou reconhecendo a antiderivada direta), obtemos o mesmo resultado \dfrac{1}{4}. Isso confirma que a conta está correta.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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