Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
e . - Queremos o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): vamos usar o método de substituição. A ideia da substituição é trocar a variável
por uma nova variável
que torne a integral mais simples. Para escolher a substituição observamos que a integranda tem um produto
. Se escolhemos
, então a derivada de
em relação a
envolve exatamente
, o que facilita cancelar termos. Vou explicar isso passo a passo.
Passo 3
Escolha da substituição e cálculo do diferencial:
Escolhemos
Escolhemos
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
em termos de
temos
Isso mostra que o fator
na integral pode ser substituído por
. Agora precisamos trocar também os limites de integração para a nova variável
.
Passo 4
Mudança dos limites de integração:
- Quando
, temos . - Quando
, temos .
Portanto a integral em
se transforma na integral em
:
Passo 5
Calcule a integral em
:
A antiderivada de é
. Então
A antiderivada de
Agora calculemos
:
Substituindo:
Logo a integral vale
.
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, para fixar o conceito): podemos usar a identidade trigonométrica
Assim
Fazendo a substituição
(ou reconhecendo a antiderivada direta), obtemos o mesmo resultado
. Isso confirma que a conta está correta.