Use a regra de L’Hospital (quando possível) para calcular os limites abaixo:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A função envolvida é
. - Lembrando que
(quando ). - Quando
temos e , portanto tende a algo que envolve divisão por zero: a expressão original tem forma potencialmente indeterminada. - O objetivo é calcular o limite numérico quando
se aproxima de .
Passo 2
Reescrevo o produto como uma razão para poder aplicar a regra de L’Hospital:
Agora verifico a forma indeterminada ao tomar
:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Portanto a expressão tem a forma, que é uma forma indeterminada onde a regra de L’Hospital é aplicável, desde que as funções sejam diferenciáveis perto de (exceto possivelmente em ), o que aquí ocorre.
Breve lembrando didático da regra de L’Hospital: se
e
(ou ambos
), e
são diferenciáveis perto de
com
próximo de
, então
quando este último limite existir.
Passo 3
Aplico a regra de L’Hospital diferenciando numerador e denominador:
- Numerador
. Uso a regra do produto: . - Denominador
. Temos .
Pelo L’Hospital,
Passo 4
Simplifico a razão obtida:
Portanto
Agora avalio
. Use a fatoração
e o limite clássico
:
mas isso é desnecessariamente complicado. Mais direto: escrevo
Melhor ainda, use que
logo
quando
. Portanto
, e assim
Assim
Passo 5
Concluo que o limite inicial é igual a
.