Use a regra de L’Hospital (quando possível) para calcular os limites abaixo:
(f) \lim _{x \rightarrow 0} x \operatorname{cotg}(x)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0} x\,\operatorname{cotg}(x).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função envolvida é x\mapsto x\,\operatorname{cotg}(x).
  • Lembrando que \operatorname{cotg}(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x} (quando \sin x\neq0).
  • Quando x\to0 temos \cos x\to1 e \sin x\to0, portanto \operatorname{cotg}(x) tende a algo que envolve divisão por zero: a expressão original tem forma potencialmente indeterminada.
  • O objetivo é calcular o limite numérico quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Reescrevo o produto como uma razão para poder aplicar a regra de L’Hospital:
x\,\operatorname{cotg}(x)=x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{x\cos x}{\sin x}.
Agora verifico a forma indeterminada ao tomar x\to0:
  • Numerador: x\cos x \to 0\cdot1 = 0.
  • Denominador: \sin x \to 0.
    Portanto a expressão tem a forma \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada onde a regra de L’Hospital é aplicável, desde que as funções sejam diferenciáveis perto de 0 (exceto possivelmente em 0), o que aquí ocorre.
Breve lembrando didático da regra de L’Hospital: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e f,g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
quando este último limite existir.

Passo 3

Aplico a regra de L’Hospital diferenciando numerador e denominador:
  • Numerador f(x)=x\cos x. Uso a regra do produto: (x\cos x)'=\cos x + x(-\sin x)=\cos x - x\sin x.
  • Denominador g(x)=\sin x. Temos g'(x)=\cos x.
Pelo L’Hospital,
\lim_{x\to0}\frac{x\cos x}{\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x - x\sin x}{\cos x}.

Passo 4

Simplifico a razão obtida:
\frac{\cos x - x\sin x}{\cos x} = 1 - \frac{x\sin x}{\cos x} = 1 - x\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = 1 - x\tan x.
Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\cos x - x\sin x}{\cos x} = \lim_{x\to0}\left(1 - x\tan x\right).
Agora avalio \lim_{x\to0} x\tan x. Use a fatoração \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} e o limite clássico \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1:
\lim_{x\to0} x\tan x = \lim_{x\to0} x\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{\cos x}\cdot x = \left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right)\left(\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\cos x}\cdot\frac{1}{x}\right),
mas isso é desnecessariamente complicado. Mais direto: escrevo
x\tan x = \frac{\tan x}{1/x} = \frac{\tan x}{\frac{1}{x}}.
Melhor ainda, use que
\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}\to 1\cdot 1 = 1,
logo \tan x \sim x quando x\to0. Portanto x\tan x \sim x\cdot x = x^2, e assim
\lim_{x\to0} x\tan x = 0.
Assim
\lim_{x\to0}\left(1 - x\tan x\right) = 1 - 0 = 1.

Passo 5

Concluo que o limite inicial é igual a 1.

Resposta

1

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